Transformada Inversa

Transformada Inversa

Transformada inversa de Laplace

Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

Aquí L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una fórmula de inversión compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una función, esta implica un conocimiento amplio de la integración compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

Un punto interesante a destacar aquí es que la transformada inversa de Laplace de una función puede no ser única. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una función más para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo término, esta es,

f(t) = 1 si 0 < t < 3

	−8 si t = 3

	1 si t > 3

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, sólo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la única función que tiene la transformada de Laplace como 1/ s.

También es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integración, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o fórmula inversa de Millen. Se trata de una integral de línea y es denotada como,

Esta integración de la línea es continua con respecto a la ecuación de la recta Re(s) = . Esta es una recta vertical situada en un plano complejo y el valor de es siempre mayor que la parte real de las singularidades de la función F(s)de Laplace. Esto es porque el trazado del contorno siempre debe encontrarse dentro del área de convergencia.

En el caso que no existan singularidades o que las singularidades existan sólo en la porción izquierda del plano, entonces podemos sustituir el cero en el lugar de . Además, esto reduciría la fórmula a la fórmula de la transformada inversa de Fourier.

Diferenciación de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces, L-1{F’(s)} = -t f(t). También esto puede probarse como,

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{t f(t)} = -F’(s)

Al invertirlo obtenemos,

t f(t) = L-1{-F’(s)} = -L-1{F’(s)}

o L-1{F’(s)} = -t f(t)

2. Si −1{F’(s)} = f(t)entonces L-1{Fn(s)} = (−1)tn f(t) para n = 1, 2, 3, …

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{tn f(t)} = (−1) Fn(s)

Al invertirlo obtenemos,

tn f(t) = L-1{(−1)nFn(s)} = (−1)n L-1{Fn(s)}

o, L-1{Fn(s)} = (−1) tn f(t)

Integración de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces L-1{ F(u) du} = f(t)/ t. También esto puede probarse como,

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{f(t)/ t} = F(s) ds

Al invertirlo obtenemos,

f(t)/ t = L-1{ F(s) ds}

o, L-1{ F(u) du} = f(t)/ t

Transformada inversa de Laplace de F(s) multiplicada por potencias de s:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) y f(0) = 0entoncesL-1{sF(s)} = f’(t).

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L-1{f’(t)} = sF(s) – f(0)

L-1{f’(t)} = sF(s) – f(0)

Al invertirlo obtenemos,

L-1{sF(s)} = f’(t)

Saludos y suerte prof lauro soto


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