Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Transformada Inversa

Transformada Inversa

Transformada inversa de Laplace

Si la transformada de Laplace de una funci贸n f(t) es F(s), esto es,

Entonces f(t) se denomina la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como,

Aqu铆 L-1 es llamado el operador de la transformada inversa de Laplace. Aunque existe una f贸rmula de inversi贸n compleja la cual proporciona un medio directo para determinar la transformada inversa de Laplace de una funci贸n, esta implica un conocimiento amplio de la integraci贸n compleja. Sin embargo, no es posible encontrar una transformada inversa de Laplace de todas las funciones por este camino.

Un punto interesante a destacar aqu铆 es que la transformada inversa de Laplace de una funci贸n puede no ser 煤nica. Por ejemplo, sabemos que la transformada de Laplace de f(t) = 1 es 1/ s. Sin embargo, existe una funci贸n m谩s para la que la transformada de Laplace resulta en el mismo t茅rmino, esta es,

f(t) = 1 si 0 < t < 3

	−8 si t = 3

	1 si t > 3

Por lo tanto, se puede concluir que la transformada inversa de Laplace de 1/s resulta para dos funciones como se describe anteriormente. Sin embargo, entre las dos, s贸lo f(t) = 1 es continua, por lo tanto, f(t) = 1 es la 煤nica funci贸n que tiene la transformada de Laplace como 1/ s.

Tambi茅n es posible escribir una transformada inversa de Laplace en la forma de integraci贸n, la cual es llamada integral de Fourier Millen o integral Bromwich o f贸rmula inversa de Millen. Se trata de una integral de l铆nea y es denotada como,

Esta integraci贸n de la l铆nea es continua con respecto a la ecuaci贸n de la recta Re(s) = . Esta es una recta vertical situada en un plano complejo y el valor de es siempre mayor que la parte real de las singularidades de la funci贸n F(s)de Laplace. Esto es porque el trazado del contorno siempre debe encontrarse dentro del 谩rea de convergencia.

En el caso que no existan singularidades o que las singularidades existan s贸lo en la porci贸n izquierda del plano, entonces podemos sustituir el cero en el lugar de . Adem谩s, esto reducir铆a la f贸rmula a la f贸rmula de la transformada inversa de Fourier.

Diferenciaci贸n de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces, L-1{F鈥(s)} = -t f(t). Tambi茅n esto puede probarse como,

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{t f(t)} = -F鈥(s)

Al invertirlo obtenemos,

t f(t) = L-1{-F鈥(s)} = -L-1{F鈥(s)}

o L-1{F鈥(s)} = -t f(t)

2. Si −1{F鈥(s)} = f(t)entonces L-1{Fn(s)} = (−1)tn f(t) para n = 1, 2, 3, 鈥

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{tn f(t)} = (−1) Fn(s)

Al invertirlo obtenemos,

tn f(t) = L-1{(−1)nFn(s)} = (−1)n L-1{Fn(s)}

o, L-1{Fn(s)} = (−1) tn f(t)

Integraci贸n de las transformadas Inversas de Laplace:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) entonces L-1{ F(u) du} = f(t)/ t. Tambi茅n esto puede probarse como,

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{f(t)/ t} = F(s) ds

Al invertirlo obtenemos,

f(t)/ t = L-1{ F(s) ds}

o, L-1{ F(u) du} = f(t)/ t

Transformada inversa de Laplace de F(s) multiplicada por potencias de s:

1. Si L-1{F(s)} = f(t) y f(0) = 0entoncesL-1{sF(s)} = f鈥(t).

Por la propiedad de la transformada de Laplace conocemos que,

L-1{f鈥(t)} = sF(s) 鈥 f(0)

L-1{f鈥(t)} = sF(s) 鈥 f(0)

Al invertirlo obtenemos,

L-1{sF(s)} = f鈥(t)

Saludos y suerte prof lauro soto


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