Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Transformada Directa

Transformada Directa

Transformada Directa de Laplace

Imaginemos un integral que sea de la forma,

Aqu铆 es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la funci贸n g(y) tiene sus m铆nimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la funci贸n es definida.

Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser s贸lo un integral o puede ser una anticipaci贸n subsecuente de la funci贸n h(y). Tambi茅n puede ser una funci贸n que genera el momento parala distribuci贸n de la funci贸n g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participaci贸n hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.

Las declaraciones cr铆pticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresi贸n de Taylor como la funci贸n g(y) alrededor del punto y * como,

g(y) = g(y*) + g鈥(y*) (y 鈥 y*) + g鈥欌(y*) (y 鈥 y*)/ 2 + 鈥

Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de m铆nimos locales, podemos afirmar que g鈥(y*) = 0 y g鈥欌(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuaci贸n anterior obtenemos,

g(y) - g(y*) =g鈥欌(y*) (y 鈥 y*)/ 2 + 鈥

Mediante la aproximaci贸n de la funci贸n h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,

 = 

La derivaci贸n anteriores la f贸rmula para la densidad Gaussiana teniendog鈥欌(y*) como su densidad. La aproximaci贸n de esto es,

Esto se conoce como el m茅todo de integraci贸n de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una funci贸n dada, encuentra su producto con el n煤cleo de la transformaci贸n el cual es e-st. En tal escenario, la funci贸n de entrada sirve como la funci贸n h(y) y - g(y), la cual es sustituida por鈥搒t.

Utilizando esta integral, las transformadas de Laplace de algunas funciones han sido derivadas, y pueden utilizar directamente en el lugar de transformar la funci贸n de t-dominio hacia una funci贸n de s-dominio. Algunas de ellas son,

1. 1 = 1/ s s> 0

2. t = 1/ s2 s > 0

3. tn= n!/ sn + 1 s > 0

4. eat = 1/ (s 鈥 a) s > a

5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0

6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0

7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0

8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para obtener la transformada directa de Laplace de una funci贸n determinada.

Obt茅n la transformada directa de Laplace de f(t) = 1 siendo t siempre mayor que uno.

L{f(t)} = e-stf(t) dt

L(1) = e-st(1) dt

L(1) = e-stdt

L(1) = - (1/ s) e-st (-sdt)

L(1) = - (1/ s) [e-st

L(1) = - (1/ s) [1/ est

L(1) = - (1/ s) [(1/ ) 鈥 (1/ e0)]

L(1) = - (1/ s) [0 - 1]

L(1) = 1/ s

Saludos y suerte prof lauro soto


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