Transformada Directa

Transformada Directa

Transformada Directa de Laplace

Imaginemos un integral que sea de la forma,

Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y) tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida.

Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.

Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como,

g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos,

g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …

Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,

 = 

La derivación anteriores la fórmula para la densidad Gaussiana teniendog’’(y*) como su densidad. La aproximación de esto es,

Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como la función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.

Utilizando esta integral, las transformadas de Laplace de algunas funciones han sido derivadas, y pueden utilizar directamente en el lugar de transformar la función de t-dominio hacia una función de s-dominio. Algunas de ellas son,

1. 1 = 1/ s s> 0

2. t = 1/ s2 s > 0

3. tn= n!/ sn + 1 s > 0

4. eat = 1/ (s – a) s > a

5. sin (wt) = w/ (s2 + w2) s > 0

6. cos (wt) = s/ (s2 + w2) s > 0

7. t sin (wt) = 2ws/ (s2 + w2)2 s > 0

8. t cos (wt) = s2 - w2/ (s2 + w2)2 s > 0

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para obtener la transformada directa de Laplace de una función determinada.

Obtén la transformada directa de Laplace de f(t) = 1 siendo t siempre mayor que uno.

L{f(t)} = e-stf(t) dt

L(1) = e-st(1) dt

L(1) = e-stdt

L(1) = - (1/ s) e-st (-sdt)

L(1) = - (1/ s) [e-st

L(1) = - (1/ s) [1/ est

L(1) = - (1/ s) [(1/ ) – (1/ e0)]

L(1) = - (1/ s) [0 - 1]

L(1) = 1/ s

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad