Transformada De Laplace De Una Funcion Periodica

Transformada De Laplace De Una Funcion Periodica

Transformada de Laplace de una función periódica

Se dice que una función f(t) es una función periódica de período a> 0 si,

Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ),el cual es una función periódica del período 2 .

El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real.

Si f(t) es una función periódica con período a entonces,

Esto puede reorganizarse como,

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esafunción dividida por el término (1 - e-as).

También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a,

	f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente.

Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt

 =   e-stf(t) dt +   e-st f(t) dt +   e-st f(t) dt + …

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos,

= e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + …

= e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + …

= (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du

= (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1]

L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt

Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada estádefinida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función.

Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormentecon propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces,

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a)

= -[-f(t)] = f(t)

	La función f(t) dada es una función periódica con período 2a.

Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período areemplazado por 2a tenemos que,

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

 = [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt +   e-st f(t) dt]

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du]

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du]

= [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Saludos y suerte prof lauro soto


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