Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Transformada De Laplace De La Funcion Delta Dirac

Transformada De Laplace De La Funcion Delta Dirac

Transformada de Laplace de la funci贸n delta de Dirac

Una funci贸n delta de Dirac es una funci贸n especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un punto, este es cuando el argumento de la funci贸n es igual a cero. Esto se denota como,

Cambiemos la funci贸n delta de Dirac por una constante, digamos c. Entonces ahora la definici贸n de esta funci贸n delta de Dirac desplazada es,

 (t 鈥 c) = 0,	t <> c

	=  ,	 t = c

Esto es s贸lo una pseudodefinici贸n de la funci贸n. Ahora bien, si derivamos el 谩rea de la funci贸n para los l铆mites de integraci贸n (- , ), y resulta ser uno, esto es,

  (t 鈥 c) dt = 1

Se trata de una derivaci贸n importante y esta tambi茅n nos da la noci贸n de pseudoinfinidad,como en la definici贸n funci贸n delta de Diracdesplazada. Aqu铆, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un n煤mero entero. Para entenderlo, integremos el producto de la funci贸n delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos l铆mites de integraci贸n, esto es, (- , ).

  2  (t 鈥 c) dt

Uno podr铆a suponer que la salida de la integraci贸n deber铆a ser igual a dos, ya que,

= 2 (t 鈥 c) dt

 = (2) (1)

 = 2

Es decir, si la funci贸n delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito ser铆a dos veces m谩s grande que antes.

Ahora, multiplicando la funci贸n delta de Dirac desplazada por alguna otra funci贸n,digamos f(t) y tomando la transformada de Laplace de esta, es decir,

L{ (t 鈥 c) f(t)}

En el caso de que uno desee determinar 煤nicamente la transformada de Laplace de la funci贸n delta de Dirac desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno.

Esto es, tenemos,

 e-st f(t)  (t 鈥 c) dt

Como sabemos, el proceso de integraci贸n nos da el 谩rea de la funci贸n que est谩 siendo integrada. Por lo tanto, primero dibujemos el 谩rea de las dos funciones para averiguar qu茅 谩rea estamos determinando realmente. Mientras lo hacemos,asume que f(t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gr谩fico de la funci贸n como,

Aqu铆 se dibuja una l铆nea recta donde t = c ya que el valor de la funci贸n delta de Dirac es siempre cero, excepto en t = c. Por lo tanto, el espacio com煤n de las dos curvas, cuyo valor ser谩 determinado por la operaci贸n de integraci贸n viene a ser un solo punto, el cual es el punto de intersecci贸n de las dos curvas, y el valor de la primera funci贸n en ese punto en ser谩e-sc f©. Este es s贸lo un punto, el cual tiene un valor constante.

En consecuencia, tenemos un t茅rmino constante dentro de la operaci贸n de integraci贸n que se puede mover fuera y, por lo tanto, quedamos con,

e-sc f© (t 鈥 c) dt

Como sabemos, el valor de la integral (t 鈥 c) dtes uno, por esto, la transformada de Laplace de la funci贸n delta de Dirac desplazada es e-sc f©. Esto nos da la transformada de Laplace de la funci贸n delta de Dirac, donde el valor de c = 0 y f(t) = 1, como,

L{ (t)} = e0 (1) = 1

L{ (t - c)} = e-cs (1) = e-cs

Saludos y suerte prof lauro soto


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