Transformada De Laplace De La Funcion Delta Dirac

Transformada De Laplace De La Funcion Delta Dirac

Transformada de Laplace de la función delta de Dirac

Una función delta de Dirac es una función especial cuyo valor es cero en todos los puntos, excepto en un punto, este es cuando el argumento de la función es igual a cero. Esto se denota como,

Cambiemos la función delta de Dirac por una constante, digamos c. Entonces ahora la definición de esta función delta de Dirac desplazada es,

 (t – c) = 0,	t <> c

	=  ,	 t = c

Esto es sólo una pseudodefinición de la función. Ahora bien, si derivamos el área de la función para los límites de integración (- , ), y resulta ser uno, esto es,

  (t – c) dt = 1

Se trata de una derivación importante y esta también nos da la noción de pseudoinfinidad,como en la definición función delta de Diracdesplazada. Aquí, la palabra pseudo se utiliza ya que pueden existir diferentes medidas del infinito mediante tomar un producto del infinito con un número entero. Para entenderlo, integremos el producto de la función delta de Dirac y un entero, digamos dos para los mismos límites de integración, esto es, (- , ).

  2  (t – c) dt

Uno podría suponer que la salida de la integración debería ser igual a dos, ya que,

= 2 (t – c) dt

 = (2) (1)

 = 2

Es decir, si la función delta de Dirac se multiplica por dos, el infinito sería dos veces más grande que antes.

Ahora, multiplicando la función delta de Dirac desplazada por alguna otra función,digamos f(t) y tomando la transformada de Laplace de esta, es decir,

L{ (t – c) f(t)}

En el caso de que uno desee determinar únicamente la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada, asumimos que el valor de f(t) es uno.

Esto es, tenemos,

 e-st f(t)  (t – c) dt

Como sabemos, el proceso de integración nos da el área de la función que está siendo integrada. Por lo tanto, primero dibujemos el área de las dos funciones para averiguar qué área estamos determinando realmente. Mientras lo hacemos,asume que f(t) es arbitrario. Por tanto, tenemos el gráfico de la función como,

Aquí se dibuja una línea recta donde t = c ya que el valor de la función delta de Dirac es siempre cero, excepto en t = c. Por lo tanto, el espacio común de las dos curvas, cuyo valor será determinado por la operación de integración viene a ser un solo punto, el cual es el punto de intersección de las dos curvas, y el valor de la primera función en ese punto en seráe-sc f©. Este es sólo un punto, el cual tiene un valor constante.

En consecuencia, tenemos un término constante dentro de la operación de integración que se puede mover fuera y, por lo tanto, quedamos con,

e-sc f© (t – c) dt

Como sabemos, el valor de la integral (t – c) dtes uno, por esto, la transformada de Laplace de la función delta de Dirac desplazada es e-sc f©. Esto nos da la transformada de Laplace de la función delta de Dirac, donde el valor de c = 0 y f(t) = 1, como,

L{ (t)} = e0 (1) = 1

L{ (t - c)} = e-cs (1) = e-cs

Saludos y suerte prof lauro soto


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