Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Transformada De Laplace De Funciones Definidas Por Tramos

Transformada De Laplace De Funciones Definidas Por Tramos

Transformada de Laplace de las funciones definidas a trozos

Una funci贸n continua a trozos es aquella que es continua y est谩 dividida en pedazos. Antes de sumergirnos en el concepto primero debemos entender lo que es una funci贸n continua y una funci贸n a trozos. Una funci贸n continua es aquella que no se divide en su gr谩fico, es decir, se define continuamente a lo largo de todo el dominio de la funci贸n. Un ejemplo de tal funci贸n ser铆a = y2, esta es la ecuaci贸n de una par谩bola.

Como podemos ver en el gr谩fico anterior, esta no se rompe.

Y, una funci贸n a trozos es aquella que no est谩 definida continuamente, esto es, la gr谩fica de la funci贸n est谩 dividida. Unejemplo de estoser铆aunafunci贸nescalonada.

Como podemos observar en la imagen de arriba, la funci贸n no es continua.

Una funci贸n continua a trozoses aquella que combina los dos tipos de funciones. Esta es una combinaci贸n muy interesante,porque驴C贸mo puede una funci贸n ser continua y no continua al mismo tiempo?.El siguiente gr谩fico har铆a el concepto claro.

Como se puede observar en el ejemplo anterior, el gr谩ficono es continuo, pero el valor para la funci贸n est谩 definido en cada punto, esto se debe a que en varios puntos la gr谩fica tiene dos valores en lugar de uno, lo cual se divide el gr谩fico aunque lo mantiene continuo.

Claramente, f(t) es continuo en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). Tambi茅n los l铆mites derechose izquierdos de A son,

 f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

 f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aqu铆 el valor de t siempre es positivo.

Por lo tanto, podemos concluir que una funci贸n continua a trozos se compone de n煤meros finitos de secciones de continuidad para cada sub-intervalo finito [0, t] en la gr谩fica de la funci贸n dada. Y el l铆mite de la funci贸n dada es finitoa medida que la funci贸n se aproxima a cada uno de los puntos continuos.

La transformada de Laplace de tal funci贸n est谩 dada como,

Esto es, la transformada de Laplace de una funci贸n definida a trozosse obtiene en formas similaresque una funci贸n continua.

Tomemos como ejemplo una funci贸n escal贸n unitario. La definici贸n de la funci贸n se da como,

f(t 鈥 k) = 0, t < k

	 = 1,	1   t < 

Ahora, la transformada de Laplace de la funci贸n anterior puede derivarse,

L{f(t)} = F(s) = e-st f(t 鈥 k) dt

F(s) = e-stdt

= [e-st/ -s

= 0 - e-sk/ -s

= e-sk/ s

Otro ejemplo que es un poco m谩s complejo que el ilustrado antes se da a continuaci贸n.

Calcula la transformada de Laplace de la funci贸n definida como,

f(t 鈥 k) = 1, 0 t < 3

= 2, 3 t < 4

= 0, t 4

La gr谩fica de la funci贸n se da como,

F(s) = e-stdt + e-stdt

 = [e-st/ -s  + [e-st/ -s 

 = [(e-3 鈥 1)/ -s] + [(2e-4s 鈥 2 e-3s)/ -s]

 = [(1 + e-3s - 2e-4s)/ s]

Saludos y suerte prof lauro soto


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