Transformada De Laplace De Funciones Definidas Por Tramos

Transformada De Laplace De Funciones Definidas Por Tramos

Transformada de Laplace de las funciones definidas a trozos

Una función continua a trozos es aquella que es continua y está dividida en pedazos. Antes de sumergirnos en el concepto primero debemos entender lo que es una función continua y una función a trozos. Una función continua es aquella que no se divide en su gráfico, es decir, se define continuamente a lo largo de todo el dominio de la función. Un ejemplo de tal función sería = y2, esta es la ecuación de una parábola.

Como podemos ver en el gráfico anterior, esta no se rompe.

Y, una función a trozos es aquella que no está definida continuamente, esto es, la gráfica de la función está dividida. Unejemplo de estoseríaunafunciónescalonada.

Como podemos observar en la imagen de arriba, la función no es continua.

Una función continua a trozoses aquella que combina los dos tipos de funciones. Esta es una combinación muy interesante,porque¿Cómo puede una función ser continua y no continua al mismo tiempo?.El siguiente gráfico haría el concepto claro.

Como se puede observar en el ejemplo anterior, el gráficono es continuo, pero el valor para la función está definido en cada punto, esto se debe a que en varios puntos la gráfica tiene dos valores en lugar de uno, lo cual se divide el gráfico aunque lo mantiene continuo.

Claramente, f(t) es continuo en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derechose izquierdos de A son,

 f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

 f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aquí el valor de t siempre es positivo.

Por lo tanto, podemos concluir que una función continua a trozos se compone de números finitos de secciones de continuidad para cada sub-intervalo finito [0, t] en la gráfica de la función dada. Y el límite de la función dada es finitoa medida que la función se aproxima a cada uno de los puntos continuos.

La transformada de Laplace de tal función está dada como,

Esto es, la transformada de Laplace de una función definida a trozosse obtiene en formas similaresque una función continua.

Tomemos como ejemplo una función escalón unitario. La definición de la función se da como,

f(t – k) = 0, t < k

	 = 1,	1   t < 

Ahora, la transformada de Laplace de la función anterior puede derivarse,

L{f(t)} = F(s) = e-st f(t – k) dt

F(s) = e-stdt

= [e-st/ -s

= 0 - e-sk/ -s

= e-sk/ s

Otro ejemplo que es un poco más complejo que el ilustrado antes se da a continuación.

Calcula la transformada de Laplace de la función definida como,

f(t – k) = 1, 0 t < 3

= 2, 3 t < 4

= 0, t 4

La gráfica de la función se da como,

F(s) = e-stdt + e-stdt

 = [e-st/ -s  + [e-st/ -s 

 = [(e-3 – 1)/ -s] + [(2e-4s – 2 e-3s)/ -s]

 = [(1 + e-3s - 2e-4s)/ s]

Saludos y suerte prof lauro soto


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