Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Transformada De Laplace

Transformada De Laplace

Transformada de Laplace de una funci贸n peri贸dica

Se dice que una funci贸n f(t) es una funci贸n peri贸dica de per铆odo a> 0 si,

Esto significa que la gr谩fica de tal funci贸n a repetir谩 su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal funci贸n es el seno ( ),el cual es una funci贸n peri贸dica del per铆odo 2 . El valor de la funci贸n debe convertirse en cero en la porci贸n negativa de la recta num茅rica real.

Si f(t) es una funci贸n peri贸dica con per铆odo a entonces,

Esto puede reorganizarse como,

En t茅rminos simples, podemos decir que para la funci贸n peri贸dica f(t) con per铆odo a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un per铆odo 煤nico de esafunci贸n dividida por el t茅rmino (1 - e-as).

Tambi茅n existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una funci贸n peri贸dica con per铆odo a,

	f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y as铆 sucesivamente.

Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt

 =   e-stf(t) dt +   e-st f(t) dt +   e-st f(t) dt + 鈥

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos,

= e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + 鈥

= e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + 鈥

= (1 + e-as + e-2as+ 鈥) e-su f(u) du

= (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + 鈥 = (1 鈥 x)−1]

L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt

Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operaci贸n de transformaci贸n de Laplace a una funci贸n peri贸dica necesitamos romper esa funci贸n en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la funci贸n dada est谩definida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa funci贸n. Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormentecon prop贸sitos de conveniencia para la soluci贸n de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer m谩s claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces,

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a)

 = -[-f(t)]

 = f(t)

	La funci贸n f(t) dada es una funci贸n peri贸dica con per铆odo 2a.

Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones peri贸dicas con el per铆odo areemplazado por 2a tenemos que,

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

 = [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt +   e-st f(t) dt]

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du]

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt 鈥 e-as e-su f(u) du]

= [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Saludos y suerte prof lauro soto


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