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Transformada De Integrales Teorema

Teorema de la transformada integral

Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una funci贸n dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada funci贸n. Una de las principales operaciones entre ellas es la integraci贸n. Como sabemos, la integraci贸n de una funci贸n nos da otra funci贸n. Por lo tanto, es esencial saber si la t茅cnica de la transformada de Laplacepuede aplicarse a la integral de una funci贸n real.

La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cl谩usula de 鈥渉asta cierto punto鈥, se a帽ade aqu铆 porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la funci贸n real.

La funci贸n real debe estar definida para la variable de tiempot, tambi茅n la funci贸n debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta funci贸n debe ser una funci贸n continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ).

Y, por 煤ltimo, ambas, la funci贸n real como el diferencial de la funci贸n real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos n煤meros reales positivos M y , un n煤mero T tal que,

Aqu铆 el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son v谩lidas para la funci贸n de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la funci贸n real puede darse como,

La f贸rmula anterior tambi茅n puede demostrarse mediante el uso de las propiedades de la transformada de Laplace. La prueba de la f贸rmula est谩 dada como,

Seag(t) = f(t) dt

Entonces, g(0) = 0 y g鈥(t) = f(t)

Ahora, L{g鈥(t)} = s L{g(t)} 鈥 g(0)

= s L{g(t)} [dado que el valor de g(0) = 0]

O, L{g(t)} = (1/ s) L{g鈥(t)}

Sustituyendo los valores de g(t) y g鈥(t) obtenemos,

L[ f(t) dt] = (1/ s) L{f(t)}

= (1/ s) F(s)

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace de la integral.

Calcula la transformada de Laplace de (1 鈥 e-t) dt

Seaf(t) = 1 鈥 e-t entonces,

L{f(t)} = L[1 鈥 e-t]

= L(1) 鈥 L(e-t)

= (1/ s) 鈥 [1/ (s+ 1)]

= [1/ s (s + 1)]

= F(s)

Dado que,L[ f(t) dt] = (1/ s) F(s)

= L[ (1 鈥 e-t) dt

= (1/ s) [1/ s (s + 1)]

= 1/ s2 (s + 1)

Apliquemos el teorema anterior a una funci贸n escal贸n unitario y a una funci贸n rampa para averiguar el efecto de este en ellos.

Asumamos que la transformada de Laplace de un impulso se define como (t), este es dado por (s) = 1 entonces la transformada de Laplace de la funci贸n escal贸n unitario se da como,

Tenemos que, (t) = (t) dt

= (s) = (1/ s) (s) = (1/ s)

De manera similar, la transformada de Laplace del signo rampa puede determinarse como,

Rampa(t) = (t) = (t) dt

Rampa(s) = (1/ s) (s) = 1/ s2

Saludos y suerte prof lauro soto


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