Transformada De Integrales Teorema

Transformada De Integrales Teorema

Teorema de la transformada integral

Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función. Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplacepuede aplicarse a la integral de una función real.

La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real.

La función real debe estar definida para la variable de tiempot, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ).

Y, por último, ambas, la función real como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , un número T tal que,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,

La fórmula anterior también puede demostrarse mediante el uso de las propiedades de la transformada de Laplace. La prueba de la fórmula está dada como,

Seag(t) = f(t) dt

Entonces, g(0) = 0 y g’(t) = f(t)

Ahora, L{g’(t)} = s L{g(t)} – g(0)

= s L{g(t)} [dado que el valor de g(0) = 0]

O, L{g(t)} = (1/ s) L{g’(t)}

Sustituyendo los valores de g(t) y g’(t) obtenemos,

L[ f(t) dt] = (1/ s) L{f(t)}

= (1/ s) F(s)

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace de la integral.

Calcula la transformada de Laplace de (1 – e-t) dt

Seaf(t) = 1 – e-t entonces,

L{f(t)} = L[1 – e-t]

= L(1) – L(e-t)

= (1/ s) – [1/ (s+ 1)]

= [1/ s (s + 1)]

= F(s)

Dado que,L[ f(t) dt] = (1/ s) F(s)

= L[ (1 – e-t) dt

= (1/ s) [1/ s (s + 1)]

= 1/ s2 (s + 1)

Apliquemos el teorema anterior a una función escalón unitario y a una función rampa para averiguar el efecto de este en ellos.

Asumamos que la transformada de Laplace de un impulso se define como (t), este es dado por (s) = 1 entonces la transformada de Laplace de la función escalón unitario se da como,

Tenemos que, (t) = (t) dt

= (s) = (1/ s) (s) = (1/ s)

De manera similar, la transformada de Laplace del signo rampa puede determinarse como,

Rampa(t) = (t) = (t) dt

Rampa(s) = (1/ s) (s) = 1/ s2

Saludos y suerte prof lauro soto


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