Transformada De Derivadas Teorema

Transformada De Derivadas Teorema

Teorema del Derivado Transformado

Al igual que en una función ordinaria, la transformada de Laplace también puede aplicarse al diferencial de una función. En tal situación, colocamosen la fórmula el diferencial de la función en el lugar de la función real para derivar la transformada de Laplace, que es,

Sin embargo, mientras nos ocupamos de los diferenciales de la función,necesitamos modificar el límite inferior de integración y colocar un valor mayor que cero en el lugar de cero, como el límite inferior de integración. Esto se hace principalmente porque el cero no manipula la solución obtenida a partir de la integración, y de esta forma nos limitamos a la función clásica.

Existen, sin embargo, ciertas condiciones para que esto sea verdadero. La función real debe ser definida para la variable tiempo ty el diferencial debe existir para todos los valores mayores que cero. Asimismo, la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). De igual manera, el diferencial de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, este es, [0, ).

Y, por último, tanto la función real, así como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , y un número T tal que,

Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.

Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada, entonces la transformada de Laplace del diferencial de la función real puede darse como,

En la fórmula anterior podemos ver que en el lugar de cero como límite inferior de integración hemos mantenido un valor de 0 +. Esto significa que podemos mantener cualquier valor mayor que cero, en lugar de cero, y que el valor que se va a mantener en el lugar de cero no es significativo, por lo tanto, se escribe de la forma 0 +.Pero, es importante señalar que ese valor no debería ser mucho mayor que cero, porque de lo contrario, puede obtenerse una salida manipulada.

La fórmula puede reescribirse como,

La fórmula anterior es una restringida, porque es específica para el caso de la diferenciación única solamente. Aunque, también es posible extender esta para la diferenciación múltiple. Sin embargo, las condiciones anteriormente mencionadas deben cumplirse en este caso. La función real y todos los diferenciales n-1 de la función real deben ser definidos de forma continua en el intervalo [0, ) y el enésimodiferencial de esta función debe ser una función continua a trozospara el mismo intervalo, es decir, [0, ).Por lo tanto, la fórmula de la transformada de Laplace de la diferenciación múltiple de alguna función se da en forma de,

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo para encontrar la transformada de Laplace del diferencial.

SiL{2 } = 1/ s3/2entonces muestra que,

L{1/ } = s1/2

Seaf(t) = 2

 = f’(t) = (2/  ) (1/ 2 ) = 1/  

Además f(0) = 0 y F(s) = 1/ s3/2

Ahora, L{f’(t)} = s F(s) – f(0)

 = L{1/ } = s(1/ s3/2) – 0

 = s1/2

Saludos y suerte prof lauro soto


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