Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", Cámara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Teorema De La Convolucion

Teorema De La Convolucion

Teoremade Convolución

Si L-1{F(s)} = f(t) y L-1{G(s)} = g(t)entonces,

O esta puede ser reescrita como,

Aquí f * g se llama la convolución de F y G. esto es llamado el teorema de convolución de la transformada de Laplace. Es una propiedad importante de la transformada de Laplace. El teorema anterior indica que puede probarse como,

A partir de la definición de la transformada de Laplace sabemos que,

L{ f(u) g(t – u) du} = e-st { f(u) g(t – u) du} dt

 =    e-stf(u) g(t – u) du dt

Aquí la región de integración es la parte sombreada de la siguiente figura,

Ahora, cambiando el orden de integración, tenemos la siguiente parte sombreada como la región de integración.

Entonces obtenemos,

L{ f(u) g(t – u) du} = e-stf(u) g(t – u) du dt

= f(u) { e-st g(t – u) dt} du

= fijando t – u = v obtenemos, dt = dv

= f(u) { e-s(u + v) g(v) dv} du

= { e-suf(u) du}. e-sv g(v) dv}

O, L{ f(u) g(t – u) du} = F(s) G(s)

Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos,

L-1{F(s) G(s)} = f(u) g(t – u) du

L-1{F(s) G(s)} = f * g

Existe una cantidad amplia de problemas que pueden resolverse con la ayuda del teorema de convolución. Uno de estos problemas se da aquí para hacer el concepto más claro.

Usa el teorema de convolución para determinar L-1{1/ [s2 (s + 1)2]}

Sea F(s) = 1/ s2

Y G(s) = 1/ (s + 1)2entonces,

f(t) = L-1{F(s)} = L-1(1/ s2) = t

g(t) = L-1{G(s)} = L-1(1/ (s + 1)2)

 = e-t L-1(1/ s2)

 = t e-t

Por lo tanto, con la ayuda del teorema de convoluciónpodemos escribir,

L-1{1/ [s2 (s + 1)2]} = f(u) g(t – u) du

 =   u (t – u) e-(t – u) du

 = e-t [t   u eudu -   u2eu du]

 = e-t [t (u eu – eu)   - (u2eu)   +   2 u eu du]

= e-t [t {(t – 1) et + 1} – t2 et + 2(ueu – eu) ]

= e-t [t (t – 1) et + t + t2 et + 2(tet – et + 1)]

= e-t [t2 et - tet+ t - t2 et + 2tet - 2et + 2]

= e-t [tet+ t- 2et + 2]

 = t + tet– 2 + 2et

El teorema de convolución tiene amplias aplicaciones en la práctica. También se utiliza en la teoría de circuitos para calcular la respuesta al impulso de un circuito concreto.

Aquí x(t) es la entrada del sistema, y(t) es la salida del sistema y h(t) es la respuesta al impulso del sistema.

Por consiguiente, la salida del sistema calculado con la ayuda de la operación de convolución está dada por,

y(t) = x(t) * h(t)

Aquí la función anterior está en el dominio de t, por lo tanto, los cálculos pueden ser algo crípticos,por esto, con el propósito de conveniencia en los cálculos, esta puede ser transformada en el dominio s. La operación de convolución en el dominio s se convierte en la operación de multiplicación.

L{a(t) * b(t)} = A(s) B(s)

Saludos y suerte prof lauro soto


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