Teorema De Existencia Y Unicidad De Solucion Unica

Teorema De Existencia Y Unicidad De Solucion Unica

Teorema de existencia y unicidad de una solución única

Sea una ecuación diferencial de enésimo orden definida como,

Y esta satisface el pre-requisito inicial establecido como,

Ahora, imagina que la función que define la ecuación diferencial de enésimo orden, es decir, f, es una función continua, cuyos argumentos, x, y, y’, y’’ … yn-1se encuentran en una región R tal que tenemos ecuaciones definiendo la región R como,

| x – x¬0¬ | k¬0 | y – a0¬ | k¬1 | y’ – a1 | k¬2 | y’’ – a2¬ | k¬3 | yn-1 – an-1¬ | k¬n

También asume que la función f satisface una condición Lipschtizestablecida como,

| f(x, y¬1, y¬1’, y¬1’’ … y¬¬1n-1) - f(x, y¬2, y¬¬¬2’, y¬¬2’’ … y¬¬2n-1) | N(| y¬1 ¬– y¬2¬ | + | y¬1¬’¬– y¬2¬’ | + | y¬1¬’’¬– y¬2¬’’ | + … + | y¬1¬n-1 ¬– y¬2¬n-1 |)

En la condición anteriormente expuesta, los puntos(x, y¬1, y¬1’, y¬1’’ … y¬¬1n-1) y (x, y¬2, y¬¬¬2’, y¬¬2’’ … y¬¬2n-1) son dos puntos que se encuentran en la misma región dada R.

Si las condiciones anteriores se cumplen, entonces podemos concluir que debe existir un intervalo I, de modo tal que tenemos una función continua única en dicho intervalo, sea y(x), cuyo diferencial continuo de orden enésimo satisface cada uno de los pre-requisitos iniciales establecidos arriba.

La prueba del teorema anterior se da a continuación.

Comenzamos con la premisa de que una función y(x) es la solución de la ecuación diferencial dada. Ahora definimos algunas funciones, seay¬1¬(x), y¬2¬(x), y¬3¬(x) …y¬n(x) usando las relaciones siguientes,

y(x) = y¬1¬(x)

y’(x) = y¬’1¬(x) = y¬2¬(x)

y’’(x) = y¬’’1¬(x) = y¬’2¬(x) = y¬3(x)

y’’’(x) = y¬’’’1¬(x) = y¬’’2¬(x) = y¬’3(x) = y¬4(x)

yn-1(x) = y¬2n-1(x) = y¬2n-2(x) = y¬3n-3(x) = … = y¬n-1¬’(x) = y¬n¬(x) (i)

Ahora, diferencia la última ecuación a partir del conjunto de ecuaciones que figuran arriba. Tenemos que,

yn(x) = y¬1n(x) = y¬2n-1(x) = y¬3n-2(x) = … = y¬n-1¬’’(x) = y¬n¬‘(x)

Mediante el uso de la ecuación de diferencialesanterior podemos reescribir la ecuación de la función como,

y¬n¬’(x) = f(x, y, y’, y’’ … yn-1)

Ahora bien, si calculamos la dos ecuaciones anteriores, podemos concluir que el sistema de funciones y, y’, y’’ … yn-1 satisface el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, lo que se puede escribir como,

y’1¬(x) = y¬2¬(x)

y’2(x) = y¬3¬(x)

y’3¬(x) = y¬4(x)

y’n-1(x) = y¬n(x) (ii)

Esto nos da,

y¬n¬’(x) = f(x, y, y’, y’’ … yn-1)

Sin embargo, mediante el uso de las condiciones antes mencionadas (i), podemos decir quey¬1¬(x¬0¬) = y¬(x¬0¬), y¬2¬(x¬0¬) = y’¬(x¬0¬), y¬3¬(x¬0¬) = y’’¬(x¬0¬) … y¬¬n¬(x¬0¬) = yn-1(x¬0¬).Por lo tanto, los pre-requisitos iniciales pueden ser sustituidos por las nuevas condiciones establecidas como,

y¬1¬(x¬0¬) = a¬0

y¬2¬(x¬0¬) = a¬1

y¬3¬(x¬0¬) = a¬2

y¬¬n¬(x¬0¬) = a¬n-1

Por consiguiente, se ha demostrado que el teorema de existencia y unicidad también es válido para una ecuación diferencial de orden enésimo. Inversamente, también podemos probar lo mismo mediante empezar por las condiciones iniciales y el sistema (ii), y definiendo y continuando la relación y(x) = y¬1¬(x).

Saludos y suerte prof lauro soto


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