Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Teorema De Existencia Y Unicidad De Solucion Unica

Teorema De Existencia Y Unicidad De Solucion Unica

Teorema de existencia y unicidad de una soluci贸n 煤nica

Sea una ecuaci贸n diferencial de en茅simo orden definida como,

Y esta satisface el pre-requisito inicial establecido como,

Ahora, imagina que la funci贸n que define la ecuaci贸n diferencial de en茅simo orden, es decir, f, es una funci贸n continua, cuyos argumentos, x, y, y鈥, y鈥欌 鈥 yn-1se encuentran en una regi贸n R tal que tenemos ecuaciones definiendo la regi贸n R como,

| x 鈥 x卢0卢 | k卢0 | y 鈥 a0卢 | k卢1 | y鈥 鈥 a1 | k卢2 | y鈥欌 鈥 a2卢 | k卢3 | yn-1 鈥 an-1卢 | k卢n

Tambi茅n asume que la funci贸n f satisface una condici贸n Lipschtizestablecida como,

| f(x, y卢1, y卢1鈥, y卢1鈥欌 鈥 y卢卢1n-1) - f(x, y卢2, y卢卢卢2鈥, y卢卢2鈥欌 鈥 y卢卢2n-1) | N(| y卢1 卢鈥 y卢2卢 | + | y卢1卢鈥櫬 y卢2卢鈥 | + | y卢1卢鈥欌櫬 y卢2卢鈥欌 | + 鈥 + | y卢1卢n-1 卢鈥 y卢2卢n-1 |)

En la condici贸n anteriormente expuesta, los puntos(x, y卢1, y卢1鈥, y卢1鈥欌 鈥 y卢卢1n-1) y (x, y卢2, y卢卢卢2鈥, y卢卢2鈥欌 鈥 y卢卢2n-1) son dos puntos que se encuentran en la misma regi贸n dada R.

Si las condiciones anteriores se cumplen, entonces podemos concluir que debe existir un intervalo I, de modo tal que tenemos una funci贸n continua 煤nica en dicho intervalo, sea y(x), cuyo diferencial continuo de orden en茅simo satisface cada uno de los pre-requisitos iniciales establecidos arriba.

La prueba del teorema anterior se da a continuaci贸n.

Comenzamos con la premisa de que una funci贸n y(x) es la soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial dada. Ahora definimos algunas funciones, seay卢1卢(x), y卢2卢(x), y卢3卢(x) 鈥卢n(x) usando las relaciones siguientes,

y(x) = y卢1卢(x)

y鈥(x) = y卢鈥1卢(x) = y卢2卢(x)

y鈥欌(x) = y卢鈥欌1卢(x) = y卢鈥2卢(x) = y卢3(x)

y鈥欌欌(x) = y卢鈥欌欌1卢(x) = y卢鈥欌2卢(x) = y卢鈥3(x) = y卢4(x)

yn-1(x) = y卢2n-1(x) = y卢2n-2(x) = y卢3n-3(x) = 鈥 = y卢n-1卢鈥(x) = y卢n卢(x) (i)

Ahora, diferencia la 煤ltima ecuaci贸n a partir del conjunto de ecuaciones que figuran arriba. Tenemos que,

yn(x) = y卢1n(x) = y卢2n-1(x) = y卢3n-2(x) = 鈥 = y卢n-1卢鈥欌(x) = y卢n卢鈥(x)

Mediante el uso de la ecuaci贸n de diferencialesanterior podemos reescribir la ecuaci贸n de la funci贸n como,

y卢n卢鈥(x) = f(x, y, y鈥, y鈥欌 鈥 yn-1)

Ahora bien, si calculamos la dos ecuaciones anteriores, podemos concluir que el sistema de funciones y, y鈥, y鈥欌 鈥 yn-1 satisface el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, lo que se puede escribir como,

y鈥1卢(x) = y卢2卢(x)

y鈥2(x) = y卢3卢(x)

y鈥3卢(x) = y卢4(x)

y鈥檔-1(x) = y卢n(x) (ii)

Esto nos da,

y卢n卢鈥(x) = f(x, y, y鈥, y鈥欌 鈥 yn-1)

Sin embargo, mediante el uso de las condiciones antes mencionadas (i), podemos decir quey卢1卢(x卢0卢) = y卢(x卢0卢), y卢2卢(x卢0卢) = y鈥櫬(x卢0卢), y卢3卢(x卢0卢) = y鈥欌櫬(x卢0卢) 鈥 y卢卢n卢(x卢0卢) = yn-1(x卢0卢).Por lo tanto, los pre-requisitos iniciales pueden ser sustituidos por las nuevas condiciones establecidas como,

y卢1卢(x卢0卢) = a卢0

y卢2卢(x卢0卢) = a卢1

y卢3卢(x卢0卢) = a卢2

y卢卢n卢(x卢0卢) = a卢n-1

Por consiguiente, se ha demostrado que el teorema de existencia y unicidad tambi茅n es v谩lido para una ecuaci贸n diferencial de orden en茅simo. Inversamente, tambi茅n podemos probar lo mismo mediante empezar por las condiciones iniciales y el sistema (ii), y definiendo y continuando la relaci贸n y(x) = y卢1卢(x).

Saludos y suerte prof lauro soto


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