Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Teorema De Existencia Y Unicidad

Teorema De Existencia Y Unicidad

Teorema de Existencia y Unicidad

El teorema de existencia y unicidad es una extensi贸n del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una soluci贸n para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuaci贸n diferencial y la soluci贸n obtenida, es de hecho, una soluci贸n 煤nica.

Imagina una funci贸n valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rect谩ngulo definido por la ecuaci贸n,

Ahora supongamos que el diferencial parcial de la funci贸n real dada con respecto a la variable q tambi茅n tiene un valor continuo de este rect谩ngulo. Entonces puede concluirse que para la funci贸n dada tenemos alg煤n intervalo I donde la funci贸n dada tiene una soluci贸n cuyo valor es 煤nico dentro de ese intervalo. Aqu铆 el pre-requisito inicial definido para la funci贸n es,

q鈥 = f(p, q) y, q(p0) = q0

Y la ecuaci贸ndefiniendo el intervalo de la funci贸nes,

Aqu铆 el valor de h deber铆a ser menor o igual que a.

Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el m茅todo de demostraci贸n por contradicci贸n. Esto significa que vamos a suponer que las afirmaciones anteriores son verdaderas. Tambi茅n significa que existe una soluci贸n para la funci贸n dada; asume que la soluci贸n es una funci贸n q(p). Estosignificaquetenemos,

q(p) = q0 + f(t, q(t) dt

Esto es porque si q(p) es una ecuaci贸n funcional para la ecuaci贸n diferencial dada, entonces podemos concluir que esta es una soluci贸n a esa ecuaci贸n diferencial. Por lo tanto, tambi茅n podemos escribir,

q鈥 = f(p, q) y, q(p0) = q0

Las aproximaciones sucesivas, tambi茅n famosas por el nombre de su inventor, este es, el m茅todo de iteraci贸n dePicard, esta es una t茅cnica utilizada para determinar esta ecuaci贸n de la funci贸n para una ecuaci贸n diferencial. Los pasosparadeterminarlason los siguientes:

1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuaci贸n diferencial dada. Supongamos que esta es cierta para cada valor de p.

2. Ahora usa la f贸rmula intermitente para determinar el valor de qn como,

3. Utilizando el m茅todo de inducci贸n, una secuencia completa de las funciones puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos obtener la soluci贸n al problema dado.

Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto.

Resuelve la ecuaci贸n diferencial q鈥 = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0.

La ecuaci贸n asociada de la integraci贸n para la ecuaci贸n diferencial dada ser铆a,

g(p) = 2 s (1 + q(s)) ds

Asumequeq0(p) = 0. Entonces laf贸rmulapara la recurrencia de cada p mayor que uno es,

qn+1(p) = 2 s (1 + qn(s)) ds

Por lo tanto, obtenemos

q1(p) = 2 s ds y,

q2(p) = 2 s (1 + s2) ds

q2(p) = p2 + p4/ 2.

Esto nos da la secuencia de las funciones como,

qn(p) = p2 + p4/ 2 + p6/ 3! +鈥 + p2n/ n!

Esta es la serie de Taylor, y por tanto, la ecuaci贸n funcional de la ecuaci贸n diferencial,

q(p) = - 1

Saludos y suerte prof lauro soto


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