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Soluciones De Las Ecuaciones Diferenciales

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Resolver una ecuaci贸n diferencial requiere el conocimiento previo de las t茅cnicas de integraci贸n. Una ecuaci贸n diferencial es llamadatambi茅n una extensi贸n del c谩lculo de integraci贸n. Sin embargo, antes de intentar resolver una ecuaci贸n diferencial, es esencial analizar el orden de la ecuaci贸n diferencial ya que las t茅cnicas de soluci贸n de una ecuaci贸n diferencial de primer orden, la ecuaci贸n diferencial de segundo orden y la ecuaci贸n diferencial de ordensuperior son diferentes.

Ahora vamos a entender las t茅cnicas para solucionar las mismos:

Ecuaci贸n Diferencial de Primer Orden:

De primer orden, una ecuaci贸n diferencial de primer grado se denota como,

Los siguientes son los m茅todos para resolverlas:

1. M茅todo de separaci贸n de variables: Si la funci贸n dada puede transformarse de manera talque el diferencial de una variable en particular aparezca como el 煤nico coeficiente de la funci贸n defini茅ndola. Por otra parte, esa funci贸n deber铆a definir s贸lo esta variable y no otra variable, si esto se cumple, entonces la t茅cnica de separaci贸n de variables puede aplicarse. Despu茅s de la alteraci贸n de la funci贸n, la funci贸n debe convertirse en una como,

Despu茅s que la funci贸n se transforma en talforma, integra cada t茅rmino de forma independiente para obtener la soluci贸n.

2. Ecuaci贸n diferencial homog茅nea: No todas las ecuaciones diferenciales pueden ser modificadas para tomar la forma descrita anteriormente. En el caso que la t茅cnica anterior no funcione, entonces comprueba la homogeneidad de la ecuaci贸n. Una ecuaci贸n homog茅nea es aquella en la cual la sustituci贸n de las variables con un producto de esa variable y una constante resultar铆a en la misma ecuaci贸n que antes.

Para resolver una ecuaci贸n de este tipo sustituye y = cx. Entonces dy/ dx = c + c(dc/ dx). Tambi茅n la ecuaci贸n diferencial dadaM dx + N dy = 0 se puede reescribir como, dy/ dx = -(M/ N). dy/ dxpuede escribirse como, f©. Por lo tanto, para separar las variables c y c podemos escribir, dx/ x = dc/ (f© 鈥 c). Esto har铆a la ecuaci贸n de manera talque sea posible que las variables sean separadas y que la t茅cnica de separaci贸n de variablessea aplicada.

Ecuaci贸n Diferencialde Segundo Orden:

1.Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes: Una forma general de las ecuaciones diferenciales de segundo orden es,

Un m茅todo para resolver una ecuaci贸n de este tipo es reducir el orden de la ecuaci贸n. Esto se hace mediante la sustituci贸n de una funci贸n de menor orden en el lugar del diferencial de segundo orden. Es de vital importancia la selecci贸nadecuada de la funci贸n, de lo contrario, la ecuaci贸n se reducir铆a a una forma m谩s cr铆ptica. Sin embargo, otro pre-requisito de este m茅todo es que se conozca de antemanouna soluci贸n de la funci贸n dada, lo cual ayuda en la b煤squeda de una sustituci贸n para el diferencial de segundo orden.

2. Ecuaciones diferenciales de una variable o una constante: Una ecuaci贸n diferencial de la forma,

Para resolver una ecuaci贸n del tipo anterior, mueve dx2hacia al otro lado y deja que y鈥 sea multiplicado en uno de los lados de la ecuaci贸n. Finalmente, integra la ecuaci贸n mediante la t茅cnica de integraci贸n apropiada. Ahora unos de los lados de la ecuaci贸n se multiplica por 2 y, finalmente, se integra,una vez m谩s, la ecuaci贸n as铆 obtenida. La soluci贸nes la respuesta requerida.

Ecuaci贸n Diferencial deOrden Superior:

Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden resolver de un modo similar al descrito anteriormente.

1. Ecuaciones diferenciales de una variable o una constante: Una ecuaci贸n diferencial de la forma,

Esta puede resolverse multiplicando uno de los lados de la ecuaci贸n con dx e integrando la ecuaci贸n resultante. Este procedimiento se repite (n - 1) veces y el integrando final es la soluci贸n requerida.

Saludos y suerte prof lauro soto


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