Soluciones De Las Ecuaciones Diferenciales

Soluciones De Las Ecuaciones Diferenciales

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Resolver una ecuación diferencial requiere el conocimiento previo de las técnicas de integración. Una ecuación diferencial es llamadatambién una extensión del cálculo de integración. Sin embargo, antes de intentar resolver una ecuación diferencial, es esencial analizar el orden de la ecuación diferencial ya que las técnicas de solución de una ecuación diferencial de primer orden, la ecuación diferencial de segundo orden y la ecuación diferencial de ordensuperior son diferentes.

Ahora vamos a entender las técnicas para solucionar las mismos:

Ecuación Diferencial de Primer Orden:

De primer orden, una ecuación diferencial de primer grado se denota como,

Los siguientes son los métodos para resolverlas:

1. Método de separación de variables: Si la función dada puede transformarse de manera talque el diferencial de una variable en particular aparezca como el único coeficiente de la función definiéndola. Por otra parte, esa función debería definir sólo esta variable y no otra variable, si esto se cumple, entonces la técnica de separación de variables puede aplicarse. Después de la alteración de la función, la función debe convertirse en una como,

Después que la función se transforma en talforma, integra cada término de forma independiente para obtener la solución.

2. Ecuación diferencial homogénea: No todas las ecuaciones diferenciales pueden ser modificadas para tomar la forma descrita anteriormente. En el caso que la técnica anterior no funcione, entonces comprueba la homogeneidad de la ecuación. Una ecuación homogénea es aquella en la cual la sustitución de las variables con un producto de esa variable y una constante resultaría en la misma ecuación que antes.

Para resolver una ecuación de este tipo sustituye y = cx. Entonces dy/ dx = c + c(dc/ dx). También la ecuación diferencial dadaM dx + N dy = 0 se puede reescribir como, dy/ dx = -(M/ N). dy/ dxpuede escribirse como, f©. Por lo tanto, para separar las variables c y c podemos escribir, dx/ x = dc/ (f© – c). Esto haría la ecuación de manera talque sea posible que las variables sean separadas y que la técnica de separación de variablessea aplicada.

Ecuación Diferencialde Segundo Orden:

1.Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes: Una forma general de las ecuaciones diferenciales de segundo orden es,

Un método para resolver una ecuación de este tipo es reducir el orden de la ecuación. Esto se hace mediante la sustitución de una función de menor orden en el lugar del diferencial de segundo orden. Es de vital importancia la selecciónadecuada de la función, de lo contrario, la ecuación se reduciría a una forma más críptica. Sin embargo, otro pre-requisito de este método es que se conozca de antemanouna solución de la función dada, lo cual ayuda en la búsqueda de una sustitución para el diferencial de segundo orden.

2. Ecuaciones diferenciales de una variable o una constante: Una ecuación diferencial de la forma,

Para resolver una ecuación del tipo anterior, mueve dx2hacia al otro lado y deja que y’ sea multiplicado en uno de los lados de la ecuación. Finalmente, integra la ecuación mediante la técnica de integración apropiada. Ahora unos de los lados de la ecuación se multiplica por 2 y, finalmente, se integra,una vez más, la ecuación así obtenida. La soluciónes la respuesta requerida.

Ecuación Diferencial deOrden Superior:

Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden resolver de un modo similar al descrito anteriormente.

1. Ecuaciones diferenciales de una variable o una constante: Una ecuación diferencial de la forma,

Esta puede resolverse multiplicando uno de los lados de la ecuación con dx e integrando la ecuación resultante. Este procedimiento se repite (n - 1) veces y el integrando final es la solución requerida.

Saludos y suerte prof lauro soto


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