Solucion General De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Solucion General De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Solución general delas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Un formato general para denotar una ecuación diferencial como una ecuación diferencial homogénea es el que se indica a continuación,

El nombre se mantiene así porque si colocamos los términos que contienen la función indefinida y los diferenciales de la función indefinida en un lado de la ecuación diferencial, entonces el otro lado de la ecuación es igual a cero. Esto puede verse claramente en la ecuación dada más arriba.

Porestemotivo, se le conocecomohomogénea.

La ecuación se llama lineal porque el diferencial de la función indefinida y la función indefinida en sí aparecen solos y no formando parte de alguna otra función compleja

Determinar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea es una tarea bastante fácil que puede realizarse siguiendo unos pasossimples, uno tras otro.

Es importante que entiendas el paso previo antes de pasar al siguiente para entender el procedimiento de solución de la ecuación diferencial homogénea lineal.

Iniciamos con la ecuación diferencial de la forma,

[ (y(t))/ t] + a(t) y(t) = 0

Ahora mueve todos los términos que contiene la función indefinida en un lado y los términos que contienen los diferenciales de la función indefinida en el otro lado de la ecuación diferencial.

La ecuación diferencial transformadase verá de la siguiente forma,

[ (y(t))/ t] = -[a(t) y(t)]

Toma la función indefinida común en el lado derecho de la ecuación y muévela hacia el lado izquierdo de la ecuación. Esto hará que la ecuaciónluzca como,

[ (y(t))/ t]/ [y(t)] = -a(t)

Ahora, recuerda el diferencial de función lny aplicando la regla de la cadena tenemos,

[ (y(t))/ t]/ [y(t)] = ( / t) ln (| y(t) |)

Ahora, aplicando la fórmula de sustitución tenemos,

( / t) ln (| y(t) |) = -a(t)

Haciéndolo de este modo, la ecuación diferencial original estará alteradade una forma como,

( / t) algunafunción de variable t = los términos restantes de la ecuación diferencial

Ahora, integra la ecuación anterior como,

 ( /  t) ln (| y(t) |) dt =  -a(t) dt

Como sabemos,los procedimiento de diferenciación e integración son procedimientos inversos. Por lo tanto, la relación anterior puede reescribirsehacia la forma de,

ln (| y(t) |) = -a(t) dt + c¬1¬

En la ecuación anterior, c¬1¬es una constante arbitraria de integración, que es el resultado de la integración de la parte izquierda de la ecuación, la cual luego fue trasladada a la parte derecha de la ecuación.

Esto nos da una ecuación logarítmica y sabemos que sóloes posible resolver una ecuación logarítmica mediante tomar el exponencial de los dos ladosde la ecuación dada. Porconsiguiente, tenemos la relación,

| y(t) | = exp ( -a(t) dt + c¬1¬¬)

= | y(t) | = exp ( -a(t)) dt + exp (c¬1¬¬)

Como sabemos el término exp(c¬1¬¬) es un término constante y, por lo tanto, puede ser sustituido por otro término constante. En consecuencia, mantenemosc¬2¬ = exp (c¬1¬¬) y la ecuación se convierte en,

| y(t) | = exp ( -a(t) dt) . c¬2¬

Ahora imagina que, A(t) = -a(t) dt donde ( / t) A(t) = a(t).Por tanto, la ecuación se convierte en,

| y(t) | = exp (-A(t)).c¬2¬

| y(t) | = exp ( -a(t) dt)

Esto se conoce como la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea. Ahora, demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo.

( / t) y(t) = y/2

( / t) y(t) = (1/2) y

( / t) y(t) - (1/2) y = 0

       a(t) = -(1/2)

	y(t) = exp(- -(1/2) dt)

	y(t) = exp((1/2) t + c)

	y(t) = exp((1/2) t).c

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad