Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Solucion General De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Solucion General De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Soluci贸n general delas ecuaciones diferenciales lineales homog茅neas

Un formato general para denotar una ecuaci贸n diferencial como una ecuaci贸n diferencial homog茅nea es el que se indica a continuaci贸n,

El nombre se mantiene as铆 porque si colocamos los t茅rminos que contienen la funci贸n indefinida y los diferenciales de la funci贸n indefinida en un lado de la ecuaci贸n diferencial, entonces el otro lado de la ecuaci贸n es igual a cero. Esto puede verse claramente en la ecuaci贸n dada m谩s arriba.

Porestemotivo, se le conocecomohomog茅nea.

La ecuaci贸n se llama lineal porque el diferencial de la funci贸n indefinida y la funci贸n indefinida en s铆 aparecen solos y no formando parte de alguna otra funci贸n compleja

Determinar la soluci贸n general de una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea es una tarea bastante f谩cil que puede realizarse siguiendo unos pasossimples, uno tras otro.

Es importante que entiendas el paso previo antes de pasar al siguiente para entender el procedimiento de soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial homog茅nea lineal.

Iniciamos con la ecuaci贸n diferencial de la forma,

[ (y(t))/ t] + a(t) y(t) = 0

Ahora mueve todos los t茅rminos que contiene la funci贸n indefinida en un lado y los t茅rminos que contienen los diferenciales de la funci贸n indefinida en el otro lado de la ecuaci贸n diferencial.

La ecuaci贸n diferencial transformadase ver谩 de la siguiente forma,

[ (y(t))/ t] = -[a(t) y(t)]

Toma la funci贸n indefinida com煤n en el lado derecho de la ecuaci贸n y mu茅vela hacia el lado izquierdo de la ecuaci贸n. Esto har谩 que la ecuaci贸nluzca como,

[ (y(t))/ t]/ [y(t)] = -a(t)

Ahora, recuerda el diferencial de funci贸n lny aplicando la regla de la cadena tenemos,

[ (y(t))/ t]/ [y(t)] = ( / t) ln (| y(t) |)

Ahora, aplicando la f贸rmula de sustituci贸n tenemos,

( / t) ln (| y(t) |) = -a(t)

Haci茅ndolo de este modo, la ecuaci贸n diferencial original estar谩 alteradade una forma como,

( / t) algunafunci贸n de variable t = los t茅rminos restantes de la ecuaci贸n diferencial

Ahora, integra la ecuaci贸n anterior como,

 ( /  t) ln (| y(t) |) dt =  -a(t) dt

Como sabemos,los procedimiento de diferenciaci贸n e integraci贸n son procedimientos inversos. Por lo tanto, la relaci贸n anterior puede reescribirsehacia la forma de,

ln (| y(t) |) = -a(t) dt + c卢1卢

En la ecuaci贸n anterior, c卢1卢es una constante arbitraria de integraci贸n, que es el resultado de la integraci贸n de la parte izquierda de la ecuaci贸n, la cual luego fue trasladada a la parte derecha de la ecuaci贸n.

Esto nos da una ecuaci贸n logar铆tmica y sabemos que s贸loes posible resolver una ecuaci贸n logar铆tmica mediante tomar el exponencial de los dos ladosde la ecuaci贸n dada. Porconsiguiente, tenemos la relaci贸n,

| y(t) | = exp ( -a(t) dt + c卢1卢卢)

= | y(t) | = exp ( -a(t)) dt + exp (c卢1卢卢)

Como sabemos el t茅rmino exp(c卢1卢卢) es un t茅rmino constante y, por lo tanto, puede ser sustituido por otro t茅rmino constante. En consecuencia, mantenemosc卢2卢 = exp (c卢1卢卢) y la ecuaci贸n se convierte en,

| y(t) | = exp ( -a(t) dt) . c卢2卢

Ahora imagina que, A(t) = -a(t) dt donde ( / t) A(t) = a(t).Por tanto, la ecuaci贸n se convierte en,

| y(t) | = exp (-A(t)).c卢2卢

| y(t) | = exp ( -a(t) dt)

Esto se conoce como la soluci贸n general de una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea. Ahora, demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo.

( / t) y(t) = y/2

( / t) y(t) = (1/2) y

( / t) y(t) - (1/2) y = 0

       a(t) = -(1/2)

	y(t) = exp(- -(1/2) dt)

	y(t) = exp((1/2) t + c)

	y(t) = exp((1/2) t).c

Saludos y suerte prof lauro soto


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