Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Solucion De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas

Solucion De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas

Soluci贸n de ecuaciones lineales diferenciales no homog茅neas

Un formato general para denotar una ecuaci贸n lineal diferencial no homog茅nea es,

En la ecuaci贸n anterior, si la funci贸n en el lado derecho, que es g(x), se convierte en cero, entonces la ecuaci贸n se transforma en una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea. Adem谩s, a卢n卢, a卢n-1卢, a卢n-2卢 鈥 a卢1卢, a卢0卢 son t茅rminos constantes, por lo tanto, se trata de una ecuaci贸n diferencial lineal no homog茅nea con coeficientes constantes. Tambi茅n podemos colocar una funci贸n desconocida o el diferencial de esa funci贸n desconocida en lugar de una constante. Una ecuaci贸n de este tipo se conoce simplemente como una ecuaci贸n lineal diferencial no homog茅nea.

La correspondiente ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea es esencialmente necesaria para resolver la ecuaci贸n diferencial actual. Esta se denomina a veces la ecuaci贸n complementaria de la ecuaci贸n diferencial dada. Aunque existen varias t茅cnicas para resolver una determinada ecuaci贸n diferenciallinealno homog茅nea, dos de las m谩s importantes se discuten a continuaci贸n.

1. T茅cnica de los coeficientes indeterminados: Sea la ecuaci贸n diferencial de la forma,

En la ecuaci贸n anterior, g(x) es una funci贸n polin贸mica conocida. Entonces, podemos concluir que la soluci贸n particular de la ecuaci贸n diferencial debe ser tambi茅nuna funci贸n polin贸mica. Y que el grado de este polinomio es similar al de la funci贸n g(x) dado que ay鈥欌 + by鈥 + cy tambi茅n son t茅rminos polin贸micos. Por lo tanto, razonablemente, podemos sustituir una funci贸n polin贸mica, del grado de la funci贸n f(x), en lugar de la soluci贸n particular de la ecuaci贸n diferencial y as铆 obtener los valores de los coeficientes.

Un ejemplo que ilustra el procedimiento anterior es el siguiente,

y鈥欌 + 4y = e3x

La ecuaci贸n auxiliar que puede sustituir la ecuaci贸n dada es,

r2+ 4 = 0

Si resolvemos esta ecuaci贸n auxiliar, obtenemos las ra铆ces, 2i. Por tanto, tenemos la ecuaci贸n complementaria como,

y卢c卢(x) = c卢1卢cos (2x) + c卢2卢 sin (2x)

Para obtener la soluci贸n particular asumimos que, y卢p卢(x) = Ae卢卢3x. En consecuencia, y卢p卢鈥(x) = aAe卢卢3x y y卢卢p卢’‘(x) = 9Ae卢卢3x. Sustituyendo estos elementos en la ecuaci贸n actual obtenemos la ecuaci贸n,

9Ae卢卢3x + 4(Ae卢卢3x) = e卢卢3x

13e卢卢3x = e卢卢3x

A = 1/13

Por lo tanto, la soluci贸n particular es,

y卢p卢(x) = 1/13e卢卢3x

2.T茅cnica de variaci贸n de los par谩metros: Para comenzar con este m茅todo, debemos tener la soluci贸n de la ecuaci贸n homog茅nea correspondiente de la ecuaci贸n diferencial dada. Sea la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial homog茅nea correspondiente,

y(x) = c卢1卢 y卢1卢(x) + c卢2卢 y卢2卢(x)

Suponemos que las funciones y卢1卢(x) e y卢2卢(x) en la ecuaci贸n anterior son funcioneslinealmente independientes. Ahora, para obtener la soluci贸n general para la ecuaci贸n diferencial nohomog茅neadada, sustituimos los t茅rminos constantes c卢1卢 y c卢2卢 por dos funciones arbitrarias, digamos u卢1卢(x) y u卢2卢(x). Por lo tanto, tenemos la soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial nohomog茅neadada como,

y(x) = u卢1卢(x) y卢1卢(x) + u2卢(x) y卢2卢(x)

Ahora, diferencia la ecuaci贸n anterior para obtener,

y鈥(x) = (u卢1卢鈥檡卢1卢 +u卢2卢鈥檡卢2卢) + (u卢1卢y卢1卢卢’ +u卢2卢y卢2卢鈥)

Como se puede observar, el nombre del procedimiento se mantiene por la t茅cnica adoptada para resolver la ecuaci贸n diferencial.

Como tenemos u卢1卢(x) y u卢2卢(x) como funciones arbitrarias debemos cumplir ciertas cl谩usulas en ellas. Una de estas es,

(u卢1卢鈥檡卢1卢 +u卢2卢鈥檡卢2卢) = 0 (i)

Por lo tanto,

y鈥欌(x) = u卢1卢鈥檡卢1卢卢’ +u卢2卢鈥檡卢2卢鈥 + u卢1卢y卢1卢卢’鈥 +u卢2卢y卢2卢鈥欌

Al colocar todos estos valores en la ecuaci贸n diferencial actual obtenemos,

a(u卢1卢鈥檡卢1卢卢’ +u卢2卢鈥檡卢2卢鈥 + u卢1卢y卢1卢卢’鈥 +u卢2卢y卢2卢鈥欌) + b(u卢1卢y卢1卢卢’ +u卢2卢y卢2卢鈥) + c(u卢1卢鈥檡卢1卢卢’ +u卢2卢鈥檡卢2卢鈥) = g(x)

u卢1卢(ay卢1卢鈥欌 + by卢1卢鈥 + cy卢1卢) + u卢2卢(ay卢2卢鈥欌 + by卢2卢鈥 + cy卢2卢) + a((u卢1卢鈥檡卢1卢卢’ +u卢2卢鈥檡卢2卢鈥) = g(x) (ii)

Como sabemos que las funciones y卢1卢 e y卢2卢 son los resultados de la ecuaci贸n complementaria,entonces,

ay卢1卢鈥欌 + by卢1卢鈥 +cy卢1卢 = 0

ay卢2卢鈥欌 + by卢2卢鈥 +cy卢2卢 = 0

Por consiguiente, la ecuaci贸n (i),

a((u卢1卢鈥檡卢1卢卢’ +u卢2卢鈥檡卢2卢鈥) = g(x) (iii)

(i) e (iii) forman un sistema de ecuaciones diferenciales en t茅rminos de u卢1卢鈥 y u卢2卢鈥 ‘que pueden ser resueltos e integrados para obtener la funci贸n u卢1卢 y u卢2卢.

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad


ASUS ZenPad Z300M-A2-GR 16GB Negro, Gris - Tablet (Tableta de tama駉 completo, IEEE 802.11n, Android, Pizarra, Android 6.0, Negro, Gris)