Solucion De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas

Solucion De Las Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas

Solución de ecuaciones lineales diferenciales no homogéneas

Un formato general para denotar una ecuación lineal diferencial no homogénea es,

En la ecuación anterior, si la función en el lado derecho, que es g(x), se convierte en cero, entonces la ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal homogénea. Además, a¬n¬, a¬n-1¬, a¬n-2¬ … a¬1¬, a¬0¬ son términos constantes, por lo tanto, se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes. También podemos colocar una función desconocida o el diferencial de esa función desconocida en lugar de una constante. Una ecuación de este tipo se conoce simplemente como una ecuación lineal diferencial no homogénea.

La correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea es esencialmente necesaria para resolver la ecuación diferencial actual. Esta se denomina a veces la ecuación complementaria de la ecuación diferencial dada. Aunque existen varias técnicas para resolver una determinada ecuación diferenciallinealno homogénea, dos de las más importantes se discuten a continuación.

1. Técnica de los coeficientes indeterminados: Sea la ecuación diferencial de la forma,

En la ecuación anterior, g(x) es una función polinómica conocida. Entonces, podemos concluir que la solución particular de la ecuación diferencial debe ser tambiénuna función polinómica. Y que el grado de este polinomio es similar al de la función g(x) dado que ay’’ + by’ + cy también son términos polinómicos. Por lo tanto, razonablemente, podemos sustituir una función polinómica, del grado de la función f(x), en lugar de la solución particular de la ecuación diferencial y así obtener los valores de los coeficientes.

Un ejemplo que ilustra el procedimiento anterior es el siguiente,

y’’ + 4y = e3x

La ecuación auxiliar que puede sustituir la ecuación dada es,

r2+ 4 = 0

Si resolvemos esta ecuación auxiliar, obtenemos las raíces, 2i. Por tanto, tenemos la ecuación complementaria como,

y¬c¬(x) = c¬1¬cos (2x) + c¬2¬ sin (2x)

Para obtener la solución particular asumimos que, y¬p¬(x) = Ae¬¬3x. En consecuencia, y¬p¬’(x) = aAe¬¬3x y y¬¬p¬’‘(x) = 9Ae¬¬3x. Sustituyendo estos elementos en la ecuación actual obtenemos la ecuación,

9Ae¬¬3x + 4(Ae¬¬3x) = e¬¬3x

13e¬¬3x = e¬¬3x

A = 1/13

Por lo tanto, la solución particular es,

y¬p¬(x) = 1/13e¬¬3x

2.Técnica de variación de los parámetros: Para comenzar con este método, debemos tener la solución de la ecuación homogénea correspondiente de la ecuación diferencial dada. Sea la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente,

y(x) = c¬1¬ y¬1¬(x) + c¬2¬ y¬2¬(x)

Suponemos que las funciones y¬1¬(x) e y¬2¬(x) en la ecuación anterior son funcioneslinealmente independientes. Ahora, para obtener la solución general para la ecuación diferencial nohomogéneadada, sustituimos los términos constantes c¬1¬ y c¬2¬ por dos funciones arbitrarias, digamos u¬1¬(x) y u¬2¬(x). Por lo tanto, tenemos la solución general de la ecuación diferencial nohomogéneadada como,

y(x) = u¬1¬(x) y¬1¬(x) + u2¬(x) y¬2¬(x)

Ahora, diferencia la ecuación anterior para obtener,

y’(x) = (u¬1¬’y¬1¬ +u¬2¬’y¬2¬) + (u¬1¬y¬1¬¬’ +u¬2¬y¬2¬’)

Como se puede observar, el nombre del procedimiento se mantiene por la técnica adoptada para resolver la ecuación diferencial.

Como tenemos u¬1¬(x) y u¬2¬(x) como funciones arbitrarias debemos cumplir ciertas cláusulas en ellas. Una de estas es,

(u¬1¬’y¬1¬ +u¬2¬’y¬2¬) = 0 (i)

Por lo tanto,

y’’(x) = u¬1¬’y¬1¬¬’ +u¬2¬’y¬2¬’ + u¬1¬y¬1¬¬’’ +u¬2¬y¬2¬’’

Al colocar todos estos valores en la ecuación diferencial actual obtenemos,

a(u¬1¬’y¬1¬¬’ +u¬2¬’y¬2¬’ + u¬1¬y¬1¬¬’’ +u¬2¬y¬2¬’’) + b(u¬1¬y¬1¬¬’ +u¬2¬y¬2¬’) + c(u¬1¬’y¬1¬¬’ +u¬2¬’y¬2¬’) = g(x)

u¬1¬(ay¬1¬’’ + by¬1¬’ + cy¬1¬) + u¬2¬(ay¬2¬’’ + by¬2¬’ + cy¬2¬) + a((u¬1¬’y¬1¬¬’ +u¬2¬’y¬2¬’) = g(x) (ii)

Como sabemos que las funciones y¬1¬ e y¬2¬ son los resultados de la ecuación complementaria,entonces,

ay¬1¬’’ + by¬1¬’ +cy¬1¬ = 0

ay¬2¬’’ + by¬2¬’ +cy¬2¬ = 0

Por consiguiente, la ecuación (i),

a((u¬1¬’y¬1¬¬’ +u¬2¬’y¬2¬’) = g(x) (iii)

(i) e (iii) forman un sistema de ecuaciones diferenciales en términos de u¬1¬’ y u¬2¬’ ‘que pueden ser resueltos e integrados para obtener la función u¬1¬ y u¬2¬.

Saludos y suerte prof lauro soto


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