Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", Cmara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Solucion De Ecuaciones Transformada De Laplace

Solucion De Ecuaciones Transformada De Laplace

Soluciones de las ecuaciones transformadas de Laplace

La transformada de Laplace es especialmente útil para obtener la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas con coeficientes constantes, donde todas las condiciones de contorno se dan para la función desconocida y sus diferencias en un solo punto. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente:

Sea el problema de valores iniciales dado como,

		(i)

Donde y(0) = k0 e y’(0) = k1. Además a1, a2, k0, k1son todos constantes y f(t) es función de t solamente.

1. Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación (i) tomando en cuenta que

L(d2y/ dt2) = s2Y(s) – sy(0) – y’(0) y,

L(dy/ dt) = sY(s) – y(0)

Donde, Y(s) = L{y(t)} e F(s) = L{f(t)}

Entonces, la ecuación (i) produce,

[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a1[sY(s) – y(0)] + a2Y = F(s)

Ahora, haciendo uso de las condiciones iniciales tenemos que,

(s2 + a1s + a2) Y(s) = F(s) + sk0 + k1 + a1k0 (ii)

2. Resuelve la ecuación (ii) y luego expresa el lado derecho como una sumatoria de fracciones parciales.

Aplica la transformada inversa de Laplace a Y(s), obtenida en el paso anterior. Esto dará la solución de la ecuación dada (i) con condiciones iniciales,

y(t) = L-1{Y(s)}

El procedimiento anterior también puede aplicarse a las ecuaciones diferenciales ordinariasde orden superior.

Ahora demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo en la categoríaanterior.

Resuelve y’’ + 2y’ + 5y = e-t sin (t) dados y(0) = 0 e y’(0) = 1.

Al tomar la transformada de Laplace de ambos lados conseguimos,

L{y’’} + L{2y’} + L{5y} = L{e-t sin (t)}

O, [s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + 2[sY(s) – y(0)] + 5Y = [1/ ((s + 1)2 + 1)]

Usando y(0) = 0 e y’(0) = 1 tenemos,

(s2 + 2s + 5) Y(s) – 1 = [1/ (s2 + 2s + 2)]

Y(s) = [1/ (s2 + 2s + 2) (s2 + 2s + 2)] + [1/ (s2 + 2s + 2)]

 = (1/ 3) {[1/ (s2 + 2s + 2)] – [1/ (s2 + 2s + 2)]} + [1/ (s2 + 2s + 2)]

 = (1/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)] + (2/ 3) [1/ (s2 + 2s + 2)]

 = (1/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) [1/ ((s + 1)2 + 4)]

Invirtiendo ambos ladostenemos,

y(t) = (1/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 1)] + (2/ 3) L-1[1/ ((s + 1)2 + 4)]

= (1/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 1)] + (2/ 3) e-t L-1[1/ (s2 + 4)] [Utilizando el primer teorema de desplazamiento]

= (1/ 3) e-t sin (t) + (1/ 3) e-t sin (2t)

= (1/ 3) e-t (sin (t) + sin (2t))

La transformada de Laplace también puede utilizarse para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en n variables dependientes, las cuales son funciones de la variable independiente t.

Considera un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas en dos variablesdependientes x e y, las cuales son funciones de t.

(a1D2 + a2D + a3)x + (a4D2 + a5D + a6)y = f1(t)

(b1D2 + b2D + b3)x + (b4D2 + b5D + b6)y = f2(t)

Aquí D = (d/ dt) y las condiciones iniciales sonx(0) = c1, x’(0) = c2, y(0) = c3, y’(0) = c4. También ai(i = 1, ), bi(i = 1, ), ci(i = 1, ) son constantes. El procedimiento de trabajo de la misma es la siguiente:

1. Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas, obtenemos

{a1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + a2[sX – x(0)] + a3X} + {a4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + a5[sY – y(0)] + a6Y} = F1(s)

{b1[s2X(s) – sx(0) – x’(0)] + b2[sX – x(0)] + b3X} + {b4[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] + b5[sY – y(0)] + b6Y} = F2(s)

O, (a1s2 + a2s + a3)X + (a4s2 + a5s + a6)Y = F1(s) + s(a1c1 + a4c3) + (a1c2 + a2c1 + a4c4 + a5c3)

(b1s2 + b2s + b3)X + (b4s2 + b5s + b6)Y = F2(s) + s(b1c1 + b4c3) + (b1c2 + b2c1 + b4c4 + b5c3)

Donde, X(s) = L-1{x(t)}

Y(s) = L-1{y(t)}

2. Ahora resuelve las dos ecuaciones algebraicas en X e Y obtenidas en el paso anterior para X e Y.

3. La solución requerida se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de X(s) e Y(s).


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