Solucion De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas De Coeficientes Constantes

Solucion De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas De Coeficientes Constantes

Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial lineal homogénea es de la forma,

En general, estas ecuaciones donde los mismostérminos coeficientes son las funciones definidas para alguna variable, sea x, y que están libres de cualquier tipo de restricciones impuestas sobre ellas, carecen de una solución que puede ser expresada en términos de las funciones generales. Y en el caso de la función dada, esta es una excepción a la regla anterior, entonces es muy difícil reducirla a esa forma.

La dificultad anterior puede superarse cuando los términos coeficientes son constantes. Por lo tanto, la mayoría de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son de la forma,

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden enésimo. En esta ecuación, a¬1¬, a¬2¬, a¬3¬ …a¬n¬ son las constantes y el valor de a¬n¬no debería ser igual a cero.

Los siguientes son los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal homogéneacon coeficientes constantes de orden enésimo.

1. Para la ecuación diferencial, encuentra la ecuación característica correcta. Por ejemplo, para la ecuación diferencial anterior dada, la ecuación característica puede darse como,

Ahora determina las raíces de la ecuación característica arriba. Las raíces de esta ecuación pueden ser de dos tipos simples y múltiples. Y a partir de estas nraíces, los resultados independientes de la ecuación diferencial pueden determinarse.

2. Caso de la raíz simple: Sea r un número real, entonces el resultado de la ecuación diferencial seráerx. Y si r es un número complejo de la forma , entonces tenemos una raíz para la ecuación como . Esto es porque los coeficientes de la ecuación característica son números reales. Esto nos da dos soluciones para la ecuación característicadada como, cos ( x) y sin ( x).

3. Caso de las raíces múltiples: Asumamos que r es la raíz de la ecuación característica dada cuya multiplicidad viene a ser m. Ahora, sea r un número real, entonces los resultados m independientes de la ecuación diferencial son dados como,

Y en el caso que r sea un número complejo de la forma , entonces tenemos una raíz de la ecuación . La multiplicidad de ambas raíces será igual que m. Por lo tanto, tenemos 2 resultados m independientes de la ecuación característicadada como,

 cos ( x), x  cos ( x) … xs-1 cos ( x)

 sin ( x), x   sin ( x) … xs-1  sin ( x)

Ahora, con la ayuda de las propiedades generales de las ecuaciones polinómicas las soluciones nindependientes de la ecuación diferencial pueden ser determinadas. La ecuación para la determinación de la solución se da de la forma,

Un ejemplo ilustrativo para revisar los pasos anteriores se da a continuación. y(4) + y = 0

Ecuación característica para la ecuación diferencial: r4 + 1 = 0

Las raíces de la ecuación están dadas como,

cos ( /4, k /2) + i sin ( /4, k /2)

La forma analítica de las raíces,

1 + i/ , 1 – i/ , −1 + i/ , −1 –i/

Entonces, las soluciones independientes estarán dadas como,

Y la solución general es,

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad