Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", CŠmara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Solucion De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas De Coeficientes Constantes

Solucion De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas De Coeficientes Constantes

Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial lineal homogénea es de la forma,

En general, estas ecuaciones donde los mismostérminos coeficientes son las funciones definidas para alguna variable, sea x, y que están libres de cualquier tipo de restricciones impuestas sobre ellas, carecen de una solución que puede ser expresada en términos de las funciones generales. Y en el caso de la función dada, esta es una excepción a la regla anterior, entonces es muy difícil reducirla a esa forma.

La dificultad anterior puede superarse cuando los términos coeficientes son constantes. Por lo tanto, la mayoría de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son de la forma,

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden enésimo. En esta ecuación, a¬1¬, a¬2¬, a¬3¬ …a¬n¬ son las constantes y el valor de a¬n¬no debería ser igual a cero.

Los siguientes son los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal homogéneacon coeficientes constantes de orden enésimo.

1. Para la ecuación diferencial, encuentra la ecuación característica correcta. Por ejemplo, para la ecuación diferencial anterior dada, la ecuación característica puede darse como,

Ahora determina las ra√≠ces de la ecuaci√≥n caracter√≠stica arriba. Las ra√≠ces de esta ecuaci√≥n pueden ser de dos tipos simples y m√ļltiples. Y a partir de estas nra√≠ces, los resultados independientes de la ecuaci√≥n diferencial pueden determinarse.

2. Caso de la ra√≠z simple: Sea r un n√ļmero real, entonces el resultado de la ecuaci√≥n diferencial ser√°erx. Y si r es un n√ļmero complejo de la forma , entonces tenemos una ra√≠z para la ecuaci√≥n como . Esto es porque los coeficientes de la ecuaci√≥n caracter√≠stica son n√ļmeros reales. Esto nos da dos soluciones para la ecuaci√≥n caracter√≠sticadada como, cos ( x) y sin ( x).

3. Caso de las ra√≠ces m√ļltiples: Asumamos que r es la ra√≠z de la ecuaci√≥n caracter√≠stica dada cuya multiplicidad viene a ser m. Ahora, sea r un n√ļmero real, entonces los resultados m independientes de la ecuaci√≥n diferencial son dados como,

Y en el caso que r sea un n√ļmero complejo de la forma , entonces tenemos una ra√≠z de la ecuaci√≥n . La multiplicidad de ambas ra√≠ces ser√° igual que m. Por lo tanto, tenemos 2 resultados m independientes de la ecuaci√≥n caracter√≠sticadada como,

 cos ( x), x  cos ( x) … xs-1 cos ( x)

 sin ( x), x   sin ( x) … xs-1  sin ( x)

Ahora, con la ayuda de las propiedades generales de las ecuaciones polinómicas las soluciones nindependientes de la ecuación diferencial pueden ser determinadas. La ecuación para la determinación de la solución se da de la forma,

Un ejemplo ilustrativo para revisar los pasos anteriores se da a continuación. y(4) + y = 0

Ecuación característica para la ecuación diferencial: r4 + 1 = 0

Las raíces de la ecuación están dadas como,

cos ( /4, k /2) + i sin ( /4, k /2)

La forma analítica de las raíces,

1 + i/ , 1 ‚Äď i/ , −1 + i/ , −1 ‚Äďi/

Entonces, las soluciones independientes estar√°n dadas como,

Y la solución general es,

Saludos y suerte prof lauro soto


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