Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Soluci 贸n General De Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Soluci 贸n General De Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Soluci贸n general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y soluci贸n particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la condici贸n es verdadera,

Aqu铆 x se llama vector propio de la matriz M.

Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan cero.

Sea A la matriz que contiene los valores propios, como [ 1, 2, 3 鈥 n]. A continuaci贸n se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

1. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema de entrada de la ecuaci贸n.

2. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los t茅rminos de los coeficientes.

3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el paso anterior. N贸mbralos en la secuencia a medida que son determinados como EV1, EV2, EV3 鈥Vn.

4. Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los conjuntos de valores propios y los vectores propios asociados. Repite este paso para cada par de valores y vectores propios.

5. Obt茅n la soluci贸n particular para un sistema de ecuaciones no homog茅neo como,

Aqu铆 X(t) se define como,X(t) = [x1 x2 x3 鈥 xn]

Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuaci贸n diferencial homog茅nea, entonces la soluci贸n particular del sistema ser谩 dada de la forma,

La ecuaci贸n anterior nos da la relaci贸n,

En la relaci贸n anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.

6. Y la soluci贸n general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,

En general podemos decir que la soluci贸n de un sistema de ecuaci贸n diferencial es llamada soluci贸n general si los valores de las constantes no se obtienen en la soluci贸n final. La misma soluci贸n puede convertirse en una soluci贸n particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuaci贸n diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinaci贸n de los t茅rminos constantes.

El ejemplo siguiente aclarar谩 el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A est谩dada como,

La ecuaci贸n caracter铆stica de la matriz de coeficientes arriba es,

f( ) = 2 鈥搕race(A) * + det(A) = 2 + 4 + 4

Y las ra铆ces de esta ecuaci贸n nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1 = 2 = −2.

Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la soluci贸n general del problema se da como,

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1

La soluci贸n particular de este problema ser铆a vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la soluci贸n homog茅nea dando el vector propiov1.

Y la soluci贸n general del problema es,

Estonos da,

x1(0) = c1 e0 + c2 (0 鈥 e0) = c1 鈥 c2 = x01

x1(0) = c1 e0 + c2 (0) = c1 = x02

Saludos y suerte prof lauro soto


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