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Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneos

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homog茅neos

Sabemos que una ecuaci贸n diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuaci贸n se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea. Esta se da cuando lafunci贸n conocida no est谩presente en la ecuaci贸n diferencial lineal, entonces se le llama una ecuaci贸n diferencial homog茅nea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema com煤n, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales linealeshomog茅neo.

Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 鈥 X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homog茅neas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuaci贸n anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales est谩n definidas en alg煤n intervalo, digamos I y la soluci贸n general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuaci贸n anterior, los t茅rminos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] 鈥n = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homog茅neas para el intervalo dado I.Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homog茅neo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Los pasos para resolver un sistema homog茅neo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes:

1.Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

2.Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homog茅neas.

3.Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y n贸mbralo como EV1.

4.Determina la primera ecuaci贸n de este vector en t茅rminos de constantes k1, k2.

5.Despu茅s de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuaci贸n.

6.Anota la soluci贸n general para las ecuaciones en t茅rminos de constantes k1, k2.

7.Por 煤ltimo, deriva la soluci贸n general para el sistema de ecuaciones.

Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homog茅neo es bastante f谩cil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudar谩 a hacer los conceptos m谩s claros.

dx/ dt = 2x + 3y

dy/ dt = 2x + y

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homog茅neas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,

Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,

Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como,

El determinante de este se obtiene como,

| EV1 | = 0.

La ecuaci贸n asociada de este vector propio es,

3k1 + 3k2 = 0

2k1 + 2k2 = 0

De manera similar, la otra ecuaci贸n para el segundo vector propio es,

-2k1 + 3k2 = 0

2k1 - 3k2 = 0

Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1.

X1 = e-t K1

Del mismo modo,

Esto nos da la soluci贸n general,

Saludos y suerte prof lauro soto


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