Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Reduccion De Orden De Una Ecuacion Diferencial Lineal De Orden Dos a Una De Primer Orden

Reduccion De Orden De Una Ecuacion Diferencial Lineal De Orden Dos a Una De Primer Orden

Reducci贸n del orden de una ecuaci贸n diferencial lineal de segundo orden a primer orden, construcci贸n de una segunda soluci贸n a partir de otra ya conocida

Resolver una ecuaci贸n diferencial de orden en茅simo puede ser, en ocasiones, un poco enga帽oso. En consecuencia, ser铆a mucho mejor si tuvi茅ramos una ecuaci贸n diferencial lineal de primer orden o un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden para sustituir la ecuaci贸n diferencial de orden en茅simo. Esto se puede hacer con la ayuda del m茅todo de reducci贸n. Existen tres tipos espec铆ficos de ecuaciones diferenciales de segundo ordenque pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden: 1. Ecuaci贸n diferencial de segundo orden que no posea variable dependiente: Una ecuaci贸n diferencial de segundo orden cuya variable dependiente no existe es de la forma,

O

En las ecuaciones de este tipo, la variable dependiente no aparece de forma expl铆cita en cualquier lugarde la ecuaci贸n. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuaci贸n diferencial de primer orden, haciendo sustituciones como,

Esto implica que,

Realizar las sustituciones de la forma descrita transformar铆a la ecuaci贸n diferencial de entrada en una ecuaci贸n diferencial de primer orden para la variable w. Despu茅s de la determinaci贸n de la ecuaci贸n definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y.

2. Ecuaci贸n diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes: Una ecuaci贸n diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes es de la forma,

En las ecuaciones de este tipo, la variable no aparece de forma expl铆cita en cualquier lugar de la ecuaci贸n. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuaci贸n diferencial de primer orden, mediante primero sustituir,

Y el segundo diferencial no se sustituye directamente, como en la ecuaci贸n diferencial de segundo orden de tipo 1 descrita anteriormente. En cambio, el segundo diferencial de la variable dependiente se describe en t茅rminos del primer diferencial de la variable dependiente. Esto puede hacerse mediante el uso de la regla de la cadena como se muestra a continuaci贸n,

Esto nos da el valor del segundo diferencial de la variable como,

Realizar las sustituciones de la forma descrita transformar铆a la ecuaci贸n diferencial de entrada en una ecuaci贸n diferencial de primer orden para la variable w. Despu茅s de la determinaci贸n de la ecuaci贸n definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y.

3. Ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea desegundo ordencuya 煤nica soluci贸n es conocida: Sea la ecuaci贸n de entradadiferencial lineal homog茅nea de segundo orden cuya 煤nica soluci贸n es conocida denotada por,

Es posible determinar la otra soluci贸n con la ayuda del m茅todo de identidadde Abel para las ecuaciones diferenciales. La segunda soluci贸n se obtiene como,

En la relaci贸n anterior, W es el Wronskiano de la ecuaci贸n dada como,

Integra la relaci贸n anterior como,

= ln [W(x)/ W(a)] = - P(x鈥) dx鈥

Ahora, solucionando la variable W(x) nos da la relaci贸n,

W(x) = W(a) exp [- P(x鈥) dx鈥橾

Sin embargo, sabemos que,

W = y卢1卢y卢2卢鈥 鈥 y卢1卢鈥檡卢2卢 = (y卢1卢卢)2 d/ dx(y卢2卢/ y卢卢1卢)

Ahora, utilizando la relaci贸n anterior, la ecuaci贸n anterior puede transformase como,

d/ dx(y卢2卢/ y卢卢1卢) = W(a) [exp [- P(x鈥) dx鈥橾/ (y卢1卢卢)2]

y卢2卢(x) = y卢卢1卢(x) W(a) [exp [- P(x鈥) dx鈥橾/ (y卢1卢卢卢(x鈥))2] dx鈥

En la relaci贸n anterior W(a) puede descartase porque es una constante de multiplicaci贸n, y las constantes a y b tambi茅n nos dan la relaci贸n,

y卢2卢(x) = y卢卢1卢(x) [exp [- P(x鈥) dx鈥橾/ (y卢1卢卢卢(x鈥))2] dx鈥

Saludos y suerte prof lauro soto


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