Reduccion De Orden De Una Ecuacion Diferencial Lineal De Orden Dos a Una De Primer Orden

Reduccion De Orden De Una Ecuacion Diferencial Lineal De Orden Dos a Una De Primer Orden

Reducción del orden de una ecuación diferencial lineal de segundo orden a primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida

Resolver una ecuación diferencial de orden enésimo puede ser, en ocasiones, un poco engañoso. En consecuencia, sería mucho mejor si tuviéramos una ecuación diferencial lineal de primer orden o un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de primer orden para sustituir la ecuación diferencial de orden enésimo. Esto se puede hacer con la ayuda del método de reducción. Existen tres tipos específicos de ecuaciones diferenciales de segundo ordenque pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden: 1. Ecuación diferencial de segundo orden que no posea variable dependiente: Una ecuación diferencial de segundo orden cuya variable dependiente no existe es de la forma,

O

En las ecuaciones de este tipo, la variable dependiente no aparece de forma explícita en cualquier lugarde la ecuación. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuación diferencial de primer orden, haciendo sustituciones como,

Esto implica que,

Realizar las sustituciones de la forma descrita transformaría la ecuación diferencial de entrada en una ecuación diferencial de primer orden para la variable w. Después de la determinación de la ecuación definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y.

2. Ecuación diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes: Una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes es de la forma,

En las ecuaciones de este tipo, la variable no aparece de forma explícita en cualquier lugar de la ecuación. Las ecuaciones de este tipo pueden ser transformadas en una ecuación diferencial de primer orden, mediante primero sustituir,

Y el segundo diferencial no se sustituye directamente, como en la ecuación diferencial de segundo orden de tipo 1 descrita anteriormente. En cambio, el segundo diferencial de la variable dependiente se describe en términos del primer diferencial de la variable dependiente. Esto puede hacerse mediante el uso de la regla de la cadena como se muestra a continuación,

Esto nos da el valor del segundo diferencial de la variable como,

Realizar las sustituciones de la forma descrita transformaría la ecuación diferencial de entrada en una ecuación diferencial de primer orden para la variable w. Después de la determinación de la ecuación definida por w, debes integrarla para obtener el valor de y.

3. Ecuación diferencial lineal homogénea desegundo ordencuya única solución es conocida: Sea la ecuación de entradadiferencial lineal homogénea de segundo orden cuya única solución es conocida denotada por,

Es posible determinar la otra solución con la ayuda del método de identidadde Abel para las ecuaciones diferenciales. La segunda solución se obtiene como,

En la relación anterior, W es el Wronskiano de la ecuación dada como,

Integra la relación anterior como,

= ln [W(x)/ W(a)] = - P(x’) dx’

Ahora, solucionando la variable W(x) nos da la relación,

W(x) = W(a) exp [- P(x’) dx’]

Sin embargo, sabemos que,

W = y¬1¬y¬2¬’ – y¬1¬’y¬2¬ = (y¬1¬¬)2 d/ dx(y¬2¬/ y¬¬1¬)

Ahora, utilizando la relación anterior, la ecuación anterior puede transformase como,

d/ dx(y¬2¬/ y¬¬1¬) = W(a) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬)2]

y¬2¬(x) = y¬¬1¬(x) W(a) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬¬(x’))2] dx’

En la relación anterior W(a) puede descartase porque es una constante de multiplicación, y las constantes a y b también nos dan la relación,

y¬2¬(x) = y¬¬1¬(x) [exp [- P(x’) dx’]/ (y¬1¬¬¬(x’))2] dx’

Saludos y suerte prof lauro soto


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