Propiedades Transformada De Laplace

Propiedades Transformada De Laplace

Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa de Laplace también tiene sus propias propiedades. Algunas de las propiedades más importantes se discuten a continuación:

1. Propiedad de Linealidad: Si L{f(t)} = F(s) y L{g(t)} = G(s), entonces para dos constantes cualesquiera c1 y c2 tenemos,

L-1{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 L-1{f(t)} + c2 L-1{g(t)}

		       = c1f(t) + c2 g(t)

Esto puede probarse como,

Por la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace conocemos que,

L{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 F(s) +c2 G(s)

Ahora tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

c1f(t) + c2 g(t) = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

f(t) = L-1{F(s)} y,

g(t) = L-1{G(s)}

Por tanto, tenemos,

c1 L-1{ F(s)} +c2L-1{G(s)} = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)}

En general tenemos,

L-1{c1 F1(s) +c2 F2(s) + … + cnFn(s)} = c1 f1(t) + c2 f2(t) + … + cnfn(t)

Donde, L{fi(t)} = Fi(s), i = 1, 2, … ,n

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace (s2 – 3s + 4)/ s3

Sea,

F(s) = (s2 – 3s + 4)/ s3 = (1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

Entonces, f(t) = L-1{F(s)}

 = L-1(1/ s) – (3/ s2) + (4/ s3)

 = L-1(1/ s) +L-1(3/ s2) + L-1(4/ s3)

 = L-1(1/ s) + 3L-1{(/ s2)} + 4 L-1(1/ s3)

 = 1 – 3t + 4 (t2/ 2!)

 = 1 – 3t + 2t2

2. Primer teorema del desplazamiento o traslación: Si L-1{F(s)} = f(t), entonces para cualquier par de constantes (reales o complejos) a,

L{F(s – a)} =eat f(t), s – a > 0

= eat L-1{F(s)}

Esto puede probarse como,

Por la propiedad del Primer teorema del desplazamiento o traslación de la transformada de Laplace conocemos que,

L{eat f(t)} = F(s – a), s – a > 0

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos,

eat f(t) = L-1{F(s – a)}

o, L-1{F(s – a)} = eat f(t) =eat L-1{F(s)}

Se da a continuación un ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace 1/ (s + a)n+1 n = 0, 1, …

L-1{1/ (s + a)n+1} = L-1{1/ {s - (-a)}n+1}

 = e-at L-1(1/sn+1)

 = e-at (tn/ n!)

3. Segundo teorema del desplazamiento o traslación:: Si L-1{F(s)} = f(t) entonces,

L-1{e-as F(s)} = f(t – a) u(t – a) ={ f(t – a), t a

				{ 0,		t < a

Esto puede probarse como,

Sea, si L{f(t)} = F(s) y una función g(t) es definida como,

g(t) = f(t – a), t a

       = 0,	t < a

	 = f(t – a) u(t – a)

Entonces por el Segundo teorema del desplazamiento o traslación tenemos que,

L{g(t)} = e-as F(s)

Al invertir ambos lados tenemos,

g(t) = L-1{e-as F(s)}

O, L-1{e-as F(s)} = g(t) = {f(t – a), t a

			{0,		t < a

			    = f(t – a) u(t – a)

Se da a continuaciónun ejemplo que ilustra la propiedad anterior,

Calcula la transformada inversa de Laplace [s/ (s2 – w2)]e-as

Sea F(s) = s/ (s2 – w2) entonces,

f(t) = L-1{F(s)} = L-1{s/ (s2 – w2)}

= coshwt

Por la segunda propiedad de desplazamiento,

L-1{e-as F(s)} = f(t – a) u(t – a)

= L-1{e-as [s/ (s2 – w2)]}

= cos h w(t – a) u(t – a)

= {cos h w(t – a) t a

= {0, t < a

Saludos y suerte prof lauro soto


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