Problemas De Valor Inicial

Problemas De Valor Inicial

Problemas de Valor Inicial

Un problema de valor inicial puede ser considerado como una ecuación diferencial que está sujeta a algunospre-requisitos iniciales o condiciones iniciales que ayudan en la determinación de una solución particular para la ecuación diferencial dada. Las condiciones iniciales son expresadas en términos de la función indefinida dada en la ecuación diferencial.

Matemáticamente, un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria como,

Teniendo en cuenta que,

En la ecuación anterior, es un intervalo abierto, el cual tiene un punto dentro del dominio de la ecuación diferencial dada. Por tanto, el pre-requisito inicial puede ser dado como,

La solución del problema de valor inicial es también la solución de la ecuación diferencial junto con la cual está dada. Además, la solución debería satisfacer la condición,

El concepto de problemas de valor inicial puede ampliarse fácilmente para las ecuaciones diferenciales de enésimoorden. Para las ecuaciones diferenciales de enésimo orden, tenemos una ecuación diferencial de enésimo orden y junto con estason establecidospre-requisitos n iniciales.

Entre estos pre-requisitos n iniciales, uno es dado para la función indefinida misma, la cual es dada en la ecuación diferencial y el resto de las condiciones(n - 1) son establecidas para los diferenciales de la función indefinida hasta (n - 1) º orden. También es esencial que el diferencial enésimo de la función indefinida no sea igual a cero en la ecuación diferencial dada.

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de orden superior puede ser dada como,

Dadas las condiciones iniciales tenemos que,

Un punto digno de mención es que todos los pre-requisitos iniciales sonestablecidos con respecto a un punto, este es a, sin el cual no es posible resolver el problema de valor inicial. También es irrelevante si la ecuación diferencial es una ecuación diferencial homogénea de orden superior o una ecuación diferencial no homogénea de orden superior, todavía es posible establecer un problema de valor inicial.

Un problema de valor inicial también puede ser modificado de manera talque se convierta en un problema de valor de contorno. En un problema de contorno se nos dan n condiciones de una ecuación diferencial de orden enésima de manera talque cada una de las condiciones nos dan el valor de la función indefinida en n puntos diferentes para el intervalo par cerrado I, para el cual la ecuación diferencial dada está definida.

Con la ayuda de estas condiciones n iniciales tenemos que obtener el valor de la función en algún punto (n + 1)esimoque también se encuentra dentro de ese intervalopar cerrado.

Tal problema puede ser descrito como,

Al final, un ejemplo ilustrativo como el que indicado a continuación sería de mucha ayuda.

y’’+ y = 0, dadas las condiciones iniciales que,

y(0) = 2

y’(0) = 3

El primer paso para resolver el problema planteado es la construcción de una ecuación auxiliar que pueda ser sustituida por la ecuación diferencial dada, por lo tanto, la ecuación auxiliar para el problema anterior dadopuede ser,

r2 + 1 = 0 o,

r2 = 1

Al resolver la ecuación anterior obtenemos las raíces de la ecuación como, i. Por lo tanto, el valor de = 0 y el valor de = 1. Esto nos da la solución de la ecuación diferencial, y(x) = c1¬cos(x) + c¬2¬sin(x)

Esto nos da,

y’(x) = -c1¬ sin(x) + c¬2¬cos(x)

Usando las condiciones iniciales tenemos que el valor de c¬1 ¬= 2 y el valor de c¬2¬ = 3.

Por lo tanto, la solución es,

y(x) = 2cos(x) + c¬3sin(x)

Saludos y suerte prof lauro soto


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