Problema Del Valor Inicial

Problema Del Valor Inicial

Problema de valor inicial

Las ecuaciones diferenciales pueden ser de dos tipos principalmente, una ecuación diferencial ordinaria y una ecuación diferencial parcial. También sabemos que una ecuación diferencial se compone del derivado de una función indefinida, la función indefinida y una variable autónoma.

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un pre-requisito inicial sujeto con la misma. Este pre-requisito es la salida de la función indefinida para algún valor que se encuentra dentro del dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se puede expresar matemáticamente como,

Donde,

El tiene un lugar en el dominio de la función dada y este es un conjunto abierto.

Este es el pre-requisito inicial de la ecuación diferencial dada.

La solución de este problema de valor inicial es también una solución de la ecuación diferencial dada y debería ser una función que cumpla la condición,

Como sabemos una ecuación diferencial ordinaria puede ser de primer orden, de segundo orden o de órdenes superiores. Dependiendo del orden de la ecuación diferencial, varia el tamaño de y, esto significa que para una ecuación diferencial de orden superior y es un vector; también que para los diferenciales de orden superior las variables pueden ser traídas, en otras palabras, se puede afirmar que y es una función de dimensiones infinitas.

Al igual que es posible establecer un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, también lo es para una ecuación diferencial parcial. La diferencia aquí es que en vez de una ecuación diferencial ordinaria, se utiliza una ecuación diferencial parcial que tiene unpre-requisito inicial sujeto a la misma. Este pre-requisito inicial es establecido para la función indefinida definiendo la ecuación diferencial parcial, la cual es una función compuesta.

Los problemas de valor inicial ayudan a determinar una respuesta exclusiva a partir de lasmúltiples respuestas posibles para la ecuación diferencial dada. Sin embargo, aunque es posible establecer una serie de pre-requisitos inicialespara una ecuación diferencial en particular y sólo unos pocos de ellos nos llevaría a una respuesta exclusiva parael problema dado. Por lo tanto, es posible concluir que para algunos pre-requisitos iniciales pueden existir muchas o ningunasolución. Por este motivo, hacer una correcta elección del pre-requisito a ser establecido es la mayor confusión. Otra cosa más importante a destacar aquí es¿Cuántos pre-requisitos inicialesserán establecidos para la ecuación diferencial dada? Esto dependerá del orden de la ecuación diferencial dada, para una ecuación diferencial de primer orden sólo es posible establecer un pre- requisito inicial,el cual da a la salida de la función en ese punto.

Del mismo modo, para una ecuación diferencial de segundo orden se establecen dos pre-requisitos iniciales, uno da la salida de la función y el otro da la salida del diferencial de la función en ese mismo punto, y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo de esta categoría para entender la técnica para solucionar el problema.

p’’ + p’ – 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p’(0) = 0

La ecuación característica de la ecuación diferencial dada es x2 + x – 6 = 0, la cual es factorizada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la solución general de la ecuación como,

p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y

p’(t) = −3 c1 e-3t + 2 c2 e2t

Coloca los pre-requisitos iniciales en las ecuaciones.

p(0) = c1 e0 + c2 e0

p’(0) = −3 c1 e0 + 2 c2 e0

Al resolver las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos los valores de c1 y c2 como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la soluciónes,

p(t) = 2 e-3t + 3 e2t

Saludos y suerte prof lauro soto


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