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Problema Del Valor Inicial

Problema de valor inicial

Las ecuaciones diferenciales pueden ser de dos tipos principalmente, una ecuaci贸n diferencial ordinaria y una ecuaci贸n diferencial parcial. Tambi茅n sabemos que una ecuaci贸n diferencial se compone del derivado de una funci贸n indefinida, la funci贸n indefinida y una variable aut贸noma.

Un problema de valor inicial es una ecuaci贸n diferencial ordinaria que tiene un pre-requisito inicial sujeto con la misma. Este pre-requisito es la salida de la funci贸n indefinida para alg煤n valor que se encuentra dentro del dominio de la ecuaci贸n diferencial dada. Esto se puede expresar matem谩ticamente como,

Donde,

El tiene un lugar en el dominio de la funci贸n dada y este es un conjunto abierto.

Este es el pre-requisito inicial de la ecuaci贸n diferencial dada.

La soluci贸n de este problema de valor inicial es tambi茅n una soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial dada y deber铆a ser una funci贸n que cumpla la condici贸n,

Como sabemos una ecuaci贸n diferencial ordinaria puede ser de primer orden, de segundo orden o de 贸rdenes superiores. Dependiendo del orden de la ecuaci贸n diferencial, varia el tama帽o de y, esto significa que para una ecuaci贸n diferencial de orden superior y es un vector; tambi茅n que para los diferenciales de orden superior las variables pueden ser tra铆das, en otras palabras, se puede afirmar que y es una funci贸n de dimensiones infinitas.

Al igual que es posible establecer un problema de valor inicial para una ecuaci贸n diferencial ordinaria, tambi茅n lo es para una ecuaci贸n diferencial parcial. La diferencia aqu铆 es que en vez de una ecuaci贸n diferencial ordinaria, se utiliza una ecuaci贸n diferencial parcial que tiene unpre-requisito inicial sujeto a la misma. Este pre-requisito inicial es establecido para la funci贸n indefinida definiendo la ecuaci贸n diferencial parcial, la cual es una funci贸n compuesta.

Los problemas de valor inicial ayudan a determinar una respuesta exclusiva a partir de lasm煤ltiples respuestas posibles para la ecuaci贸n diferencial dada. Sin embargo, aunque es posible establecer una serie de pre-requisitos inicialespara una ecuaci贸n diferencial en particular y s贸lo unos pocos de ellos nos llevar铆a a una respuesta exclusiva parael problema dado. Por lo tanto, es posible concluir que para algunos pre-requisitos iniciales pueden existir muchas o ningunasoluci贸n. Por este motivo, hacer una correcta elecci贸n del pre-requisito a ser establecido es la mayor confusi贸n. Otra cosa m谩s importante a destacar aqu铆 es驴Cu谩ntos pre-requisitos inicialesser谩n establecidos para la ecuaci贸n diferencial dada? Esto depender谩 del orden de la ecuaci贸n diferencial dada, para una ecuaci贸n diferencial de primer orden s贸lo es posible establecer un pre- requisito inicial,el cual da a la salida de la funci贸n en ese punto.

Del mismo modo, para una ecuaci贸n diferencial de segundo orden se establecen dos pre-requisitos iniciales, uno da la salida de la funci贸n y el otro da la salida del diferencial de la funci贸n en ese mismo punto, y as铆 sucesivamente.

Veamos un ejemplo de esta categor铆a para entender la t茅cnica para solucionar el problema.

p鈥欌 + p鈥 鈥 6p = 0 dado que p(0) = 5 y p鈥(0) = 0

La ecuaci贸n caracter铆stica de la ecuaci贸n diferencial dada es x2 + x 鈥 6 = 0, la cual es factorizada como (x - 2) (x + 3) = 0. Esto nos da la soluci贸n general de la ecuaci贸n como,

p(t) = c1 e-3t + c2 e2t y

p鈥(t) = −3 c1 e-3t + 2 c2 e2t

Coloca los pre-requisitos iniciales en las ecuaciones.

p(0) = c1 e0 + c2 e0

p鈥(0) = −3 c1 e0 + 2 c2 e0

Al resolver las dos ecuaciones simult谩neamente, obtenemos los valores de c1 y c2 como 2, 3, respectivamente. Por lo tanto la soluci贸nes,

p(t) = 2 e-3t + 3 e2t

Saludos y suerte prof lauro soto


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