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Principio De Superposicion

Principio de Superposición

El principio de superposici√≥n se ocupa principalmente de la ecuaci√≥n diferencial lineal homog√©nea. El nombre de esta teor√≠a se mantiene as√≠ por su similitud con el principio de superposici√≥n aplicado en f√≠sica y otras √°reas de la ciencia, en el cual se estudia; si existen dos est√≠mulos en un sistema lineal, entonces el resultado neto de su fuerza en alg√ļn momento y en alg√ļn lugar ser√° equivalente a la sumatoria de las fuerzas de estos dos est√≠mulos tomados independientemente.

De manera similar, para una ecuaci√≥n diferencial linealhomog√©nea, de cualquier orden (con o sin coeficientes constantes), el principio de superposici√≥n establece que, ‚ÄúSi tenemos y¬¨1¬¨(x) e y¬¨2¬¨(x) como el resultado de alguna ecuaci√≥n diferencial lineal homog√©nea, entonces la sumatoria de estos resultados deber√°n producir una nueva ecuaci√≥n, la cualpertenecer√°tambi√©n al conjunto de resultados de la ecuaci√≥n diferencial dada‚ÄĚ. Esto puede denotarse como,

Esto es verdadero porque sabemos por las propiedades de un sistema lineal que cualquier sistema lineal es de naturaleza aditiva. También tenemos una prueba del teorema mencionado anteriormente. Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de la forma,

Ahora bien, sabemos que y¬1¬(x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que (x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que y¬1¬ satisface la ecuación anterior. Por lo tanto, podemos hacer un reemplazo de y = y¬1¬. Esto deja la ecuación en la forma de,

a (d2y¬1/ dx2) + b (dy¬1/ dx) + cy¬1¬ = 0 (i)

De la misma forma, podemos construir una ecuación más mediante sustituiry¬2¬ en el lugar de y. Por lo tanto, esta tercera ecuación puede darse como,

a (d2y¬2/ dx2) + b (dy¬2/ dx) + cy¬2 = 0 (ii)

Como sabemos,siempre es posible a√Īadirdos ecuaciones para obtener la tercera ecuaci√≥n. Por lo tanto, vamos a a√Īadir la ecuaci√≥n (i) y la ecuaci√≥n (ii). Estonos da la ecuaci√≥n,

a (d2y¬1/ dx2 + d2y¬2/ dx2) + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Ahora, a partir de las propiedades de la diferenciaci√≥n sabemos que si la aplicaci√≥n consecutiva de dos operaciones como la adici√≥n y la diferenciaci√≥n de dos cifras nos da el mismo resultado, entonces debemos primero diferenciar los dos n√ļmeros y luego sumarlos. Por consiguiente, podemos transformar la ecuaci√≥n anterior para los segundo diferenciales de y¬¨1¬¨ e y¬¨2¬¨ como,

a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Aplicando la misma regla para los primeros diferenciales y¬1¬ e y¬2¬, obtenemos la ecuación como,

a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b [(dy¬1 + dy¬2¬)/ dx] + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Ahora, supongamos que la suma de los dos n√ļmeros y¬¨1¬¨ e y¬¨2¬¨ nos da el tercer n√ļmero el cual es y¬¨3¬¨. Entonces la ecuaci√≥n puede ser reescrita como

a (d2y¬3/ dx2) + b (dy¬3/ dx) + cy¬3¬ = 0

De manera similar, esto también puede ser probado en ecuaciones diferenciales de cualquier orden. En consecuencia, hemos llegado a la conclusión de que el teorema establecido anteriormente es verdadero para todas las ecuaciones diferenciales.

Saludos y suerte prof lauro soto


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