Principio De Superposicion

Principio De Superposicion

Principio de Superposición

El principio de superposición se ocupa principalmente de la ecuación diferencial lineal homogénea. El nombre de esta teoría se mantiene así por su similitud con el principio de superposición aplicado en física y otras áreas de la ciencia, en el cual se estudia; si existen dos estímulos en un sistema lineal, entonces el resultado neto de su fuerza en algún momento y en algún lugar será equivalente a la sumatoria de las fuerzas de estos dos estímulos tomados independientemente.

De manera similar, para una ecuación diferencial linealhomogénea, de cualquier orden (con o sin coeficientes constantes), el principio de superposición establece que, “Si tenemos y¬1¬(x) e y¬2¬(x) como el resultado de alguna ecuación diferencial lineal homogénea, entonces la sumatoria de estos resultados deberán producir una nueva ecuación, la cualpertenecerátambién al conjunto de resultados de la ecuación diferencial dada”. Esto puede denotarse como,

Esto es verdadero porque sabemos por las propiedades de un sistema lineal que cualquier sistema lineal es de naturaleza aditiva. También tenemos una prueba del teorema mencionado anteriormente. Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de la forma,

Ahora bien, sabemos que y¬1¬(x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que (x) es una de las soluciones a la ecuación diferencial dada. Esto implica que y¬1¬ satisface la ecuación anterior. Por lo tanto, podemos hacer un reemplazo de y = y¬1¬. Esto deja la ecuación en la forma de,

a (d2y¬1/ dx2) + b (dy¬1/ dx) + cy¬1¬ = 0 (i)

De la misma forma, podemos construir una ecuación más mediante sustituiry¬2¬ en el lugar de y. Por lo tanto, esta tercera ecuación puede darse como,

a (d2y¬2/ dx2) + b (dy¬2/ dx) + cy¬2 = 0 (ii)

Como sabemos,siempre es posible añadirdos ecuaciones para obtener la tercera ecuación. Por lo tanto, vamos a añadir la ecuación (i) y la ecuación (ii). Estonos da la ecuación,

a (d2y¬1/ dx2 + d2y¬2/ dx2) + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Ahora, a partir de las propiedades de la diferenciación sabemos que si la aplicación consecutiva de dos operaciones como la adición y la diferenciación de dos cifras nos da el mismo resultado, entonces debemos primero diferenciar los dos números y luego sumarlos. Por consiguiente, podemos transformar la ecuación anterior para los segundo diferenciales de y¬1¬ e y¬2¬ como,

a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b (dy¬1/ dx + dy¬2/ dx) + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Aplicando la misma regla para los primeros diferenciales y¬1¬ e y¬2¬, obtenemos la ecuación como,

a [(d2y¬1+ d2y¬2¬)/ dx2] + b [(dy¬1 + dy¬2¬)/ dx] + c(y¬1¬ + y¬2¬) = 0

Ahora, supongamos que la suma de los dos números y¬1¬ e y¬2¬ nos da el tercer número el cual es y¬3¬. Entonces la ecuación puede ser reescrita como

a (d2y¬3/ dx2) + b (dy¬3/ dx) + cy¬3¬ = 0

De manera similar, esto también puede ser probado en ecuaciones diferenciales de cualquier orden. En consecuencia, hemos llegado a la conclusión de que el teorema establecido anteriormente es verdadero para todas las ecuaciones diferenciales.

Saludos y suerte prof lauro soto


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