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Operaciones Con Vectores Y Sus Propiedades

En c谩lculo vectorial, un campo vectorial es una asignaci贸n de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la direcci贸n, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la direcci贸n de un fluido en movimiento a trav茅s del espacio, o la fuerza y la direcci贸n de algunas fuerzas, como la magn茅tica o gravitatoria la fuerza, a medida que cambia de punto a punto.

Los elementos del c谩lculo diferencial e integral se extiende a los campos vectoriales de una manera natural. Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de l铆nea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretaci贸n, la conservaci贸n de la energ铆a se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del c谩lculo . Los campos vectoriales 煤til se puede considerar como la representaci贸n de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuici贸n f铆sica conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variaci贸n del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotaci贸n de un flujo).

En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensi贸n euclidiana se puede representar como un vector de funci贸n con valores que asocia una n -tupla de n煤meros reales a cada punto del dominio. Esta representaci贸n de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformaci贸n al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los campos vectoriales se discuten a menudo sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, sino tambi茅n tener sentido en otros subconjuntos tales como superficies , donde se asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector de la tangente ). De manera m谩s general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se ven como el espacio euclidiano en escalas peque帽as, pero pueden tener una estructura m谩s compleja a escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una secci贸n del fibrado tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo de tensores

Definicion

Los campos vectoriales sobre subconjuntos del espacio euclidiano

Dado un subconjunto S de Rn, un campo de vectores se representa mediante un vector de funci贸n con valores de v:s→Rn en la norma coordenadas cartesianas ( x 1 , …, x n ). Si S es un conjunto abierto , entonces V es una funci贸n continua , siempre que cada componente de la V es continua, y m谩s en general, V es C k campo vectorial si cada componente V es k veces continuamente diferenciable.

Un campo vectorial se puede visualizar como una n -dimensional del espacio con un n dimensiones vectores adjunta a cada punto. Dadas dos C k vectores campos V , W definido en S y un verdadero valor C k -funci贸n f definida sobre S, las dos operaciones de multiplicaci贸n y suma de vectores escalares

definir el m贸dulo de C k campos de vectores en el anillo de C k -funciones.

Saludos y suerte prof lauro soto


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