Metodos De Solucion Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Metodos De Solucion Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales

Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será,

Ahora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La fórmula para resolverlo está dada de la forma,

Aquí A es la matriz que contiene los términos coeficientes de toda la ecuación del sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no homogéneos y, finalmente, la matriz X es la que contiene los elementos desconocidos. Cuando la matriz C es igual a cero, entonces el sistema dado es un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales.

Todo el mundo está familiarizado con el hecho de que multiplicar unas cuantas matrices es mucho mejor que solucionar las ecuaciones algebraicas crípticas para cuatro variables desconocidas. Sin embargo, la técnica anterior nos da la solución en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar algunas otras técnicas para resolver las ecuaciones.

Dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en la situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables desconocidas. Sin embargo, esto puede lograrse mediante aplicar algunas operaciones elementales como la multiplicación con una constante,la reordenación de las ecuaciones, etc.Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales dado como,

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

x + 2y – z = 2

Las ecuaciones anteriores pueden resolverse mediante aplicar algunas operaciones elementales sobre las dos últimas ecuaciones y manteniendo la primera sin alterar. Esto nos ayudará a eliminar una de las variables y el resto de las ecuaciones pueden resolverse de forma simultánea para dos variables, lo cual es muy fácil de hacer.

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

      y – 2z = 2

Ahora resta la dos ecuacionesa partir de la primera como,

x + y + z = 0

   - 3y + z = 4

     y – 2z = 2

Continuando con el procedimiento, multiplicamos la tercera ecuación con tres y lo sumamos a la segunda como

x + y + z = 0

   - 3y + z = 4

           - 5z = 10

Esto nos da el valor de z = −2. Al sustituir este valor en el sistema de ecuaciones podemos eliminar los términos que contienen z y finalmente,las ecuaciones han sidoreducidas a dos variablesúnicas. Los valores de las otras dos variables pueden obtenerse mediante la solución de esas ecuaciones simultáneamente.

Por lo tanto, el valor de x es 4, y el de y es −2.

Otra técnica popular es la transformar la matriz aumentada AC de manera talque se convierta en triangular superior. Una vez más esto puede lograrse mediante realizar las operaciones elementales de transformación en las ecuaciones del sistema. Después que esto se ha hecho, es posible resolver fácilmente el sistemapara las variables desconocidas.

Saludos y suerte prof lauro soto


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