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Introduccion a Los Campos Escalares Y Vectoriales

Campos escalares y vectoriales

A pesar de ser utilizadas constantemente en el campo de la física, las cantidades escalares y vectoriales ocupan un lugar importante en las Matemáticas.

En física, un campo escalar se utiliza para definir la energía potencial de una fuerza particular.

También se utiliza para definir el campo gravitatorio en el tema de lateoría escalar de gravitación.

En Matemáticas, el campo escalar también es conocido como “función del espacio”.

Un campo escalar es el responsable de asociar todas las posiciones dentro de un espacio determinado con un número real.

Por ejemplo: Considere una sala de tres dimensiones en la cual hay un calentador y un aireacondicionado encendidos en distintos rincones.

En un momento, en alguna parte del centro de la sala se puede encontrar una temperatura variante.

Por tanto, cuando la posición cambia, la temperatura también cambia.

Es decir, la temperatura T puede ser considerada como una función de x, y, z, es decir, T(x, y, z).

Aquí T es el campo escalar. El valor del campo escalar es invariante independientemente de la rotación del sistema de coordenadas.

Ahora, considere nuevamente la saladonde el aire fluye rápidamente en alguna parte y se mueve lentamente en otra parte.

Este movimiento de aire se denomina velocidad.

Por consiguiente, esta velocidad es también una función que puede ser escrita como v(x, y, z).

Esta velocidad es diferente de la de la temperatura por el hecho de que la dirección está asociada con la velocidad y no con la temperatura.

Entonces, la descripción del aire está dividida en dos partes: la rapidez y su dirección, por este motivoes considerado un campo vectorial.

Las aplicaciones del campo vectorial incluyen la Transformada de Fourier, la Optimización, la teoría de juegos, el teoremaminimax, junto con algunas teorías importantes, como la teoría de grupos y la teoría de la representación.

Inclusive, si son consideradas todas las aplicaciones de los campos vectoriales la lista puede extenderseampliamenteenlongitud.

Existen ciertas operaciones que pueden ser aplicadas en los campos vectoriales.

1) Integral de Línea: Se determina una integral de línea cuando el campo vectorial es integrado a lo largo de la curva.

Por ejemplo, considere una partícula en movimiento en el cual la fuerza que actúa a lo largo del campo gravitatorio es representada por un vector.

Entonces la integral de línea del vector indica el trabajo realizado por la partícula para moverse a lo largo de la curva.

Si V es el campo vectorial y Y representa la curva,la cual estáparametrizada en [0, 1], entonces la integral de línea es representada como:

2) Divergencia: La divergencia de la función en tres dimensiones es definida como

3) Rotacional: Es una operación que produce un campo vectorial a partir de otro campo vectorial. Está definido específicamente para 3D.

Un campo escalar y uno vectorial difieren por la respuesta de las coordenadas a la transformación de las coordenadas.

Una coordenada puede utilizarse para describir un vector, mientras que un escalar representa una coordenada.

Consideremos un ejemplo de la búsqueda del gradiente del campo vectorial de la función:

Para una función de dos dimensiones, estamos obligados a omitir el tercer componente del vector de la fórmula anterior.

Por tanto, el vector gradiente de la función correspondiente es dado como

 f = (2x sin (5y), 5×2 cos (5y))

Saludos y suerte prof lauro soto


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