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Integral Doble En Coordenadas Polares

De la misma manera en que la integral de una funci贸n positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse c贸mo el 谩rea entre la gr谩fica de la funci贸n y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funci贸n positiva f (x, y) de dos variables, definida en una regi贸n del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la funci贸n y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una funci贸n f (x, y, z) definida en una regi贸n del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la regi贸n de integraci贸n. Para integrales de 贸rdenes superiores, el resultado geom茅trico corresponde a hipervol煤menes de dimensiones cada vez superiores.

La manera m谩s usual de representar una integral m煤ltiple es anidando signos de integraci贸n en el orden inverso al orden de ejecuci贸n (el de m谩s a la izquierda es el 煤ltimo en ser calculado), seguido de la funci贸n y los diferenciales en orden de ejecuci贸n. El Dominio de Integraci贸n se representa simb贸licamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de m谩s a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una funci贸n de m谩s de una variable por lo que las integrales m煤ltiples indefinidas no existen.

Definicion

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales m煤ltiples es mediante su representaci贸n geom茅trica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuaci贸n xn + 1 = f(x1,…,xn) y una regi贸n T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la funci贸n f (si T es una regi贸n cerrada y acotada y f est谩 definida en la regi贸n T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una regi贸n T en el plano x1×2 es igual a alg煤na integral doble, si es que la funci贸n f est谩 definida en regi贸n T.

Se puede dividir la regi贸n T en una partici贸n interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que est茅n completamente contenidas en T. La norma | | Δ | | de esta partici贸n est谩 dada por la diagonal m谩s larga en las m subregiones.

Si se toma un punto (x1i,x2i,…,xni) que est茅 contenido dentro de la subregi贸n con dimensiones Δx1iΔx2i…Δxni para cada una de las m subregiones de la partici贸n, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,…,xn) y la subregi贸n i. Este espacio tendr谩 una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuaci贸n xn + 1 = f(x1,…,xn) y la regi贸n T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximaci贸n mejora a medida que el n煤mero m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podr铆a obtener la magnitud exacta tomando el l铆mite. Al aumentar el n煤mero de subregiones disminuir谩 la norma de la partici贸n:

El significado riguroso de 茅ste 煤ltimo l铆mite es que el l铆mite es igual L si y s贸lo si para todo existe un δ > 0 tal que

para toda partici贸n Δ de la regi贸n T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,…,xni) en la i茅sima subregi贸n. Esto conduce a la definici贸n formal de una integral m煤ltiple:

Si f est谩 definida en una regi贸n cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T est谩 dada por:

siempre que el l铆mite exista. Si el l铆mite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

Propiedades

Las integrales m煤ltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una regi贸n cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

Fuente: Integral m煤ltiple. (2011, 8) de marzo. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 09:17, marzo 25, 2011 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_m%C3%BAltiple&oldid=44672742.


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