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Integral De Linea

Integral de Línea

La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada.

También es conocida por los nombresde integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc.

Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración.

Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este método.

Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.

Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será,

W = F. s

De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice.

Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB.

Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas xe y. Y la función es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.

Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente.

En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva ynómbrelo como punto de muestra.

Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa.

Trace una línea recta entre cada par de estospuntos de muestra.

Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

La multiplicación de la función de estos puntos de muestra y las respectivas distancias entre ellos puede considerarse como el área del rectángulo con altura f(r(ti)) y anchura si.

Tomando la sumatoria de talestérminos con límite .

Reconstruyendo la ecuación anterior obtenemos,

Dado que la distancia medida entre los puntos sucesivos al punto de muestra es,

Esto es equivalente a la sumatoria de Riemann, la cual es,

La integral de línea encuentra una gran aplicación práctica.

Incluso la ley del electromagnetismo de Faradayestá inspirada en la integral de línea misma.

También el cálculo del voltaje en el vecindario de una carga puntual puede hacerse utilizando la integral de línea.

Veamos ahora un ejemplo ilustrativo,

  para 

	p’(t) = (-t/  , 1)

	  F ds =   F(p(t)). p’(t) dt

	=   F( , t).(-t/  , 1) dt

	 =   (0,  ).(-t/  , 1) dt

	=     dt

Asuma que t = sin u ydt = cos u du

	  F ds =    cos(u) du

	  cos(u) du

	  cos2(u) du

La integración anterior puede realizarse fácilmente utilizando las técnicas de integración.

Saludos y suerte prof lauro soto


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