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Integracion De Funciones Vectoriales

Integraci贸n de Funciones Vectoriales

Una funci贸n vectorial es una funci贸n definida en t茅rminos de la variable tiempo. El rango de esta funci贸n es multidimensional dado que la funci贸n est谩 constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes var铆a con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una funci贸n vectorial puede denotarse como,

Aqu铆, cada una de las funciones individuales es una funci贸n vectorial de variable real en s铆 misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignaci贸n de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la funci贸n dada. Las dimensiones de entrada y salida de una funci贸n vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integraci贸n de la funci贸n se lleva a cabo mediante la integraci贸n de cada uno de los componentes individuales de la funci贸n. Por lo tanto la integraci贸n de la funci贸n vectorial se valora,

Aqu铆 la integraci贸n se hace con respecto a 鈥榯鈥, la cual es la variable.

Asimismo la integraci贸n definida de la funci贸n tambi茅n puede hacerse de la misma manera que una funci贸n ordinaria. Para quela integraci贸n definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la funci贸n, y por lo tanto la funci贸n misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de 鈥榯鈥 est谩 incrementandose mon贸tonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 鈥 k, entonces la integraci贸n definida de la funci贸n ser谩,

El Teorema Fundamental del C谩lculo tambi茅n se ha modificado para una funci贸n valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] tambi茅n la derivada de F es equivalente a f, entonces

si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensi贸n acerca del tema. Calcule la funci贸n r(t), dada r鈥(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la funci贸n r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r鈥(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r鈥(t) como,

  r鈥(t) dt =  dt -   dt +  dt

r(t) = <t + c1, -t +c2, c1>

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuaci贸n 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integraci贸n como,

r(0) = <c1, c2, c3> = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la funci贸n r(t) se calcula como <t, -t + 1, 2>.

Por lo general, en el caso que la funci贸n vectorial est茅 en lugar de la constante de integraci贸n hacemos uso del vector integraci贸n, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo tambi茅n puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de l铆nea del campo vectorial dado.

Saludos y suerte prof lauro soto


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