Gradiente

Gradiente

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.

Una generalización del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalización de una función de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fréchet.

Interpretaciones

Considere la posibilidad de una habitación en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitación, el gradiente de T en ese momento se mostrará la dirección que la temperatura se eleva más rápidamente. La magnitud del gradiente determinará la rapidez con la temperatura se eleva en esa dirección.

Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la dirección de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinación de la pendiente en ese punto está dado por la magnitud del vector gradiente.

El gradiente también se puede utilizar para medir cómo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la dirección de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente más pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuación, la pendiente más pronunciada en la carretera también será de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un ángulo (el vector gradiente), entonces tendrá una pendiente menos profundas. Por ejemplo, si el ángulo entre el camino y la dirección hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 °, a continuación, la pendiente más inclinada a lo largo de la carretera será de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 °.

Esta observación puede ser matemáticamente declaró lo siguiente. Si la altura de la colina función H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la dirección del vector. Más precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la dirección de ese vector unitario.

Definicion

fuente: Gradient. (2011, March 14). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 03:53, March 25, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradient&oldid=418803074


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