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Gradiente

En c谩lculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la direcci贸n de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio.

Una generalizaci贸n del gradiente de funciones en un espacio euclidiano que tienen valores en otro espacio euclidiano es el jacobiano. Una generalizaci贸n de una funci贸n de un espacio de Banach a otro es la derivada de Fr茅chet.

Interpretaciones

Considere la posibilidad de una habitaci贸n en la que se da la temperatura de un campo escalar, T , por lo que en cada punto (x,y,z) la temperatura es T (x,y,z) (vamos a suponer que la temperatura no cambia en el tiempo). En cada punto de la habitaci贸n, el gradiente de T en ese momento se mostrar谩 la direcci贸n que la temperatura se eleva m谩s r谩pidamente. La magnitud del gradiente determinar谩 la rapidez con la temperatura se eleva en esa direcci贸n.

Considere la posibilidad de una superficie cuya altura sobre el nivel del mar en un punto (x,y) es H (x,y). El gradiente de H en un punto es un vector que apunta en la direcci贸n de la empinada pendiente o grado en ese punto. La inclinaci贸n de la pendiente en ese punto est谩 dado por la magnitud del vector gradiente.

El gradiente tambi茅n se puede utilizar para medir c贸mo cambia un campo escalar en otras direcciones, en lugar de la direcci贸n de mayor cambio, por tomar un producto escalar. Supongamos que la pendiente m谩s pronunciada en una colina es de 40%. Si la carretera va directamente a la colina, a continuaci贸n, la pendiente m谩s pronunciada en la carretera tambi茅n ser谩 de 40%. Si, en cambio, el camino va alrededor de la colina en un 谩ngulo (el vector gradiente), entonces tendr谩 una pendiente menos profundas. Por ejemplo, si el 谩ngulo entre el camino y la direcci贸n hacia arriba, proyectada sobre el plano horizontal, es de 60 掳, a continuaci贸n, la pendiente m谩s inclinada a lo largo de la carretera ser谩 de 20%, que es 40 veces% el coseno de 60 掳.

Esta observaci贸n puede ser matem谩ticamente declar贸 lo siguiente. Si la altura de la colina funci贸n H es diferenciable, entonces el gradiente de H de puntos con una unidad de vector da la pendiente de la colina en la direcci贸n del vector. M谩s precisamente, cuando H es diferenciable, el producto escalar del gradiente de H con un vector unidad dada es igual a la derivada direccional de la H en la direcci贸n de ese vector unitario.

Definicion

fuente: Gradient. (2011, March 14). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 03:53, March 25, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradient&oldid=418803074


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