Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Funciones Reales De Varias Variables

Funciones Reales De Varias Variables

Funci贸n real

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una funci贸n real f es una funci贸n matem谩tica cuyo dominio y codominio est谩n contenidos en el conjunto de los n煤meros reales denotado como R es decir, es una funci贸n:

f : S ⊆ R → S ′ ⊆ R

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando est谩n representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

脕lgebra de las funciones (con valores) reales

Sea X un conjunto cualquiera no vac铆o y sea F ( X , R ) . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los n煤meros reales se pueden extender a F ( X , R ) como veremos a continuaci贸n.

Sean f , g : X → R elementos de F ( X , R ) Se definen a continuaci贸n operaciones entre esas funciones.

Suma de funciones: f + g : x ↦ f ( x ) + g ( x )

Resta de funciones: f − g : x ↦ f ( x ) − g ( x )

Producto de funciones: f g : x ↦ f ( x ) g ( x )

Tambi茅n, se puede extender a relaciones de igualdad.

f < g si y solo si, para todo x , f ( x ) < g ( x )

La manera en que se hace la extensi贸n, garantiza que muchas de las propiedades de los n煤meros reales se extienden a F ( X , R ). Se indican a continuaci贸n aquellas m谩s importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, y con neutro la funci贸n constante x ↦ 0 con opuesto aditivo − f : x → − f ( x ) para cada funci贸n f

La resta es tal que f − g = f + ( − g )

La multiplicaci贸n es asociativa, conmutativa, y con neutro la funci贸n constante x ↦ 1 {\displaystyle x\mapsto 1} {\displaystyle x\mapsto 1}, pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo tienen rec铆procos.

La multiplicaci贸n es distributiva respecto a la suma.

N贸tese que todas las propiedades anteriores son an谩logas a las propiedades de los n煤meros reales. Hay, sin embargo, propiedades “extra帽as”.

Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene al menos dos elementos, hay divisores de cero en F ( X , R ) En efecto, supongamos que X = { a , b } y definamos f , g : X → R tales que f ( a ) = 1 , f ( b ) = 0 {\displaystyle f(a)=1,f(b)=0} y g ( a ) = 0 y g ( b ) = 1 Se ve, inmediatamente, que el producto f g es la funci贸n constante 0, o sea la funci贸n cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto F ( X , R ) junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea X = { 1 , 2 } Entonces, cada funci贸n de F ( X , R ) define una pareja de n煤meros f ( 1 ) , f ( 2 ) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado ( f ( 1 ) , f ( 2 ) ) Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar F ( X , R ) con el conjunto de todos los pares posibles de n煤meros reales, o sea con R 2

Sea X = { 1 , 2 , 3 } Razonado como arriba, podemos identificar a F ( X , R ) con R 3

Sea X = { 1 , 2 , 3 , 鈥 , n } Razonado como arriba, podemos identificar a F ( X , R ) con R n

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tr铆os, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicaci贸n. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicaci贸n por constantes con la multiplicaci贸n por escalar.

    Sea X = N , el conjunto de los n煤meros naturales. En este caso, F ( X , R )  es el conjunto de todas las sucesiones de n煤meros reales provisto como la suma y multiplicaci贸n usual de sucesiones.

Funciones num茅ricas

Las funciones num茅ricas son funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los n煤meros reales. Estas funciones son aquellas que aparecen m谩s frecuentemente en las aplicaciones elementales. En el resto del art铆culo, funciones significar谩 funciones num茅ricas. Muchas veces, para estas funciones, se da solamente la regla o f贸rmula de la funci贸n. En esa situaci贸n se aplica el convenio del dominio natural y se supone que el codominio (natural) consiste de todo R Funciones acotadas

Se dice que una funci贸n f est谩 acotada cuando su conjunto imagen est谩 acotado. Es decir, hay un n煤mero m tal que para todo x del dominio de la funci贸n se cumple que − m ≤ f ( x ) ≤ m

Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen al intervalo [−1,1] y son, por lo tanto acotadas. Una funci贸n est谩 acotada cuando su gr谩fica est谩 entre dos l铆neas horizontales.

En forma an谩loga se define las nociones de funci贸n acotada superiormente y funci贸n acotada inferiormente, queriendo decir que su conjunto imagen est谩 acotado superiormente o inferiormente respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen [ 0 , + ∞ ) est谩 acotada inferiormente. Funciones mon贸tonas

Una funci贸n f en un intervalo [a,b] es mon贸tona si verifica cualquiera de las siguientes propiedades:

es estrictamente creciente,

si para todo x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] : x 1 < x 2 si y solo si f ( x 1 ) < f ( x 2 ) es estrictamente decreciente,

si para todo x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] : x 1 < x 2 si y solo si f ( x 1 ) > f ( x 2 )

es creciente,

si para todo x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] : x 1 < x 2 si y solo si f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )

es decreciente,

 si para todo x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] : x 1 < x 2 si y solo si f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 )

Propiedades

Si una funci贸n es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

La suma de funciones mon贸tonas de un mismo tipo tiene el mismo tipo de monoton铆a. Lo anterior no se verifica ni para restas ni para productos.

Funciones pares e impares

Una funci贸n es par cuando presenta simetr铆a sobre el eje Y (ordenadas), esto es, si para todo elemento x x de su dominio se cumple que − x tambi茅n est谩 en el dominio y f ( − x ) = f ( x )

Una funci贸n es impar cuando presenta simetr铆a respecto al origen, esto es, si para todo elemento x {\displaystyle x} x de su dominio se cumple que − xtambi茅n est谩 en el dominio y

f ( − x ) = − f ( x )

Una funci贸n que no presenta simetr铆a par, no tiene necesariamente simetr铆a impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetr铆a o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del de coordenadas o el eje de ordenadas (eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Propiedades

La suma de dos funciones pares o dos funciones impares es par.

El producto de funci贸n par por par o impar por impar, da par.

Todas las otras combinaciones dan impar.

Funciones peri贸dicas

Decimos funci贸n es peri贸dica si se cumple: f ( x ) = f ( x + T ) ; T ≠ 0 donde T es un per铆odo de la funci贸n. El periodo es el menor de los periodos positivos, cuando exista tal n煤mero.

Los ejemplos cl谩sicos son las funciones seno y coseno con periodos iguales a 2 π Si int denota la funci贸n parte entera (que produce el mayor entero menor o igual al argumento) entonces la funci贸n f tal que f ( x ) = x − i n t ( x ) tiene periodo 1.

Funciones c贸ncavas y convexas

Funci贸n convexa.

Una funci贸n f es convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gr谩fica de f {\displaystyle f} f, siempre esta por encima o tocando la gr谩fica.

Una funci贸n f es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gr谩fica de f siempre esta por encima de la gr谩fica.

Una funci贸n f es c贸ncava (estrictamente c贸ncava) sobre un intervalo cuando − f {\displaystyle -f} {\displaystyle -f} es convexa (estrictamente convexa).

Una funci贸n f es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gr谩fica de f siempre esta por encima de la gr谩fica.

Las t茅cnicas del c谩lculo diferencial permiten determinar si una funci贸n es creciente, decreciente, c贸ncava o convexa a trav茅s del estudio de las derivadas sucesivas de la funci贸n.

Se verifica que una funci贸n es convexa estricta en un intervalo si la rectas tangentes a la funci贸n en ese intervalo est谩n por debajo de la gr谩fica de la funci贸n. Una funci贸n es c贸ncava estricta en un intervalo si la rectas tangentes a la funci贸n de ese intervalo est谩n por encima.

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