Funcion Delta Dirac

Funcion Delta Dirac

Función Delta de Dirac

Las funciones deltade Dirac son las funciones que ejercen una enorme cantidad de fuerza sobre un objeto, por una gran cantidad de tiempo. Aunque a veces una función escalonada unitaria es comparada con una función fuerza, la comparación no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza ejercida por ellas es muy limitada. Una función delta de Dirac es una diferencial de la función escalón unitario. Esta puede entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza generalizadas.

Esto implica que la función delta de Dirac no es una función real sino que es una distribución que se extiende por un intervalo definido para la función dada. También es llamada una función singular. Como tal, no existe una definición formal de esta función. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia función, la cual es,

En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero. Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- , ) es uno. A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso.

La gráfica de la función se vería algo así como:

Debido a esta propiedad de la función, es ampliamente utilizada para modelar el sistema que experimenta fuerzas extremasrepentinas.

Una propiedad muy importante de esta función es,

En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la función se convierte en cero. En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación.

Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la función cuando el argumento de la función es igual a cero.

Otra forma popular de definir una función delta de Dirac es una medida, ya que la función delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los números realesS, es decir, S R. Aquí, el valor de S es cero cuando la salida de la función es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementosinfinitos.

Veamos ahora un ejemplo de la función delta de Dirac.

Resuelve y’ + 2y’ – 15y = 6 (t – 9) dados y(0) = −5 ey’(0) = 7

Aplicando la transformada de Laplace para la función dada obtenemos,

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2(sY(s) – y(0)) – 15Y(s) = 6e-9s

 = (s2 + 2s – 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos,

Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s)

Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace como,

F(s) = 1/ [(s + 5) (s – 3)]

 = [(1/ 8)/ (s – 3)] – [(1/ 8)/ (s + 5)]

f(t) = (1/8) e3t - (1/8)e-5t

G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s – 3)]

= [(9/4)/ (s – 3)] + [(11/4)/ (s + 5)]

f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t

Por lo tanto, la solución es

Y(s) = 6e-9s F(s) – G(s)

y(t) = 6u9(t) f(t – 9) – g(t)

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad