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Funcion Delta Dirac

Funci贸n Delta de Dirac

Las funciones deltade Dirac son las funciones que ejercen una enorme cantidad de fuerza sobre un objeto, por una gran cantidad de tiempo. Aunque a veces una funci贸n escalonada unitaria es comparada con una funci贸n fuerza, la comparaci贸n no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza ejercida por ellas es muy limitada. Una funci贸n delta de Dirac es una diferencial de la funci贸n escal贸n unitario. Esta puede entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza generalizadas.

Esto implica que la funci贸n delta de Dirac no es una funci贸n real sino que es una distribuci贸n que se extiende por un intervalo definido para la funci贸n dada. Tambi茅n es llamada una funci贸n singular. Como tal, no existe una definici贸n formal de esta funci贸n. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia funci贸n, la cual es,

En t茅rminos simples, podemos decir que una funci贸n delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la funci贸n en s铆 es igual a cero. Aqu铆 el argumento de la funci贸n es un par谩metro valorado real. La integral de la funci贸n en el rango de par谩metros (- , ) es uno. A la luz de la afirmaci贸n anterior, podemos concluir que esta es una funci贸n real desde el punto de vista matem谩tico, ya que para cualquier funci贸n real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso.

La gr谩fica de la funci贸n se ver铆a algo as铆 como:

Debido a esta propiedad de la funci贸n, es ampliamente utilizada para modelar el sistema que experimenta fuerzas extremasrepentinas.

Una propiedad muy importante de esta funci贸n es,

En este caso, sabemos que la funci贸n (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la funci贸n f(t) tambi茅n se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la funci贸n se convierte en cero. En tal situaci贸n, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haci茅ndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuaci贸n.

Por lo tanto, podemos pensar en (t) dt como el operador funcional que saca el valor de la funci贸n cuando el argumento de la funci贸n es igual a cero.

Otra forma popular de definir una funci贸n delta de Dirac es una medida, ya que la funci贸n delta de Dirac tiene como su argumento un subconjunto de los n煤meros realesS, es decir, S R. Aqu铆, el valor de S es cero cuando la salida de la funci贸n es uno o infinita y en otro caso, el subconjunto S puede tomar elementosinfinitos.

Veamos ahora un ejemplo de la funci贸n delta de Dirac.

Resuelve y鈥 + 2y鈥 鈥 15y = 6 (t 鈥 9) dados y(0) = −5 ey鈥(0) = 7

Aplicando la transformada de Laplace para la funci贸n dada obtenemos,

s2Y(s) 鈥 sy(0) 鈥 y鈥(0) + 2(sY(s) 鈥 y(0)) 鈥 15Y(s) = 6e-9s

 = (s2 + 2s 鈥 15)Y(s) + 5s + 3 = 6e-9s

Resolviendo la ecuaci贸n anterior obtenemos,

Y(s) = 6e-9s F(s) 鈥 G(s)

Ahora haciendo uso de las fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace como,

F(s) = 1/ [(s + 5) (s 鈥 3)]

 = [(1/ 8)/ (s 鈥 3)] 鈥 [(1/ 8)/ (s + 5)]

f(t) = (1/8) e3t - (1/8)e-5t

G(s) = [5s + 3/(s + 5) (s 鈥 3)]

= [(9/4)/ (s 鈥 3)] + [(11/4)/ (s + 5)]

f(t) = (9/4) e3t - (11/4)e-5t

Por lo tanto, la soluci贸n es

Y(s) = 6e-9s F(s) 鈥 G(s)

y(t) = 6u9(t) f(t 鈥 9) 鈥 g(t)

Saludos y suerte prof lauro soto


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