Función Escalon Unitario

Función Escalon Unitario

Función escalón unitario

La función escalón unitario o función escalón unitario de Heavisideu(t - a) está definida como,

Aquí el valor de a es siempre mayor o igual que cero.

El gráfico de una función escalón unitario es parecido al siguiente,

Entonces, al observar el gráfico de la función, este se puede comparar con un interruptor que se encuentra cerca de un tiempo en particular, que abre por un tiempo y luego vuelve a cerrar.

Existen ciertas propiedades de una función escalón unitario relacionadas con la transformada de Laplace. Estasse analizan a continuación:

1.La transformada de Laplace deu(t – a) is e-as/ s. La prueba se muestra abajo.

L[u(t – a)] = e-st u(t – a) dt

	=   e-stu(t – a) dt +  e-st u(t – a) dt

	=   e-st (0) dt +  e-st (1) dt

	= 0 + [e-st/ -s 

	= -(1/ s)(0 - e-st)

	= e-as/ s

2. El segundo teorema de desplazamiento de la transformada de Laplace puede escribirse también en términos de la función escalón unitario, de la siguiente manera,

SiL{f(t)} = F(s) y g(t) = f(t – a) u(t – a) entonces,

L{g(t)} = e-as F(s)

O,

L[f(t – a) u(t – a)] = e-as F(s)

3.Si L{f(t)} = F(s) entonces,

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}.

La prueba se muestra abajo

.L[f(t) u(t – a)] = e-st f(t) u(t – a) dt

	        =   e-stf(t) u(t – a) dt +  e-st f(t) u(t – a) dt

	        =   e-stf(t) (0) dt +  e-st f(t) (1) dt

		= 0 +  e-stf(t) dt

		= e-as   e-sx f(x + a) dx

   [Fijando t = x + a dt = dx]

		= e-as   e-stf(t + a) dt

L[f(t) u(t – a)] = e-as L{f(t + a)}

En la propiedad anterior hemos tomado dos funciones, u(t) y f(t). Aquí la función f(t) tiene valor de cero cuando el valor de t es menor que cero y tiene valor de uno cuando el valor de t es mayor o igual que cero. La razón detrás de esto es, cuando f(t) = 0, entonces u(t) f(t) = 0 y cuando f(t) = f(t), entonces u(t) f(t) = 1.

La transformada de Laplace de una función escalón unitario puede definirse de forma similar que para una función periódica. Esto esporque una función escalón unitario es un caso especial de una función periódica. Por lo tanto, para calcular la transformada de Laplace de esta función, primero sustituye la definición de la función en la fórmula de la transformada de Laplace, y luego divide el integrando en los sub-intervalos como se define en la definición de la función escalón unitarioy cada integrando se calcula por separado de sus respectivos límites. La solución obtenida a partir de la integración es entonces reducidapara obtener el resultado final.

Demos ahora un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender la transformada de Laplace de una función escalón unitario.

Determina la transformada de Laplace de la función,

Sabemos que,

f(t) = 0, t < 2

      = (t - 2 ) cos (t - 2 ) + 2 cos (t - 2 ),	t < 2 

Por lo tanto, L{f(t)} = {[(s2 – 1)/ (s2 + 1)2] + 2 [s/ (s + 1)]}

Saludos y suerte prof lauro soto


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