Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Funci 贸n Escalon Unitario

Funci 贸n Escalon Unitario

Funci贸n escal贸n unitario

La funci贸n escal贸n unitario o funci贸n escal贸n unitario de Heavisideu(t - a) est谩 definida como,

Aqu铆 el valor de a es siempre mayor o igual que cero.

El gr谩fico de una funci贸n escal贸n unitario es parecido al siguiente,

Entonces, al observar el gr谩fico de la funci贸n, este se puede comparar con un interruptor que se encuentra cerca de un tiempo en particular, que abre por un tiempo y luego vuelve a cerrar.

Existen ciertas propiedades de una funci贸n escal贸n unitario relacionadas con la transformada de Laplace. Estasse analizan a continuaci贸n:

1.La transformada de Laplace deu(t 鈥 a) is e-as/ s. La prueba se muestra abajo.

L[u(t 鈥 a)] = e-st u(t 鈥 a) dt

	=   e-stu(t 鈥 a) dt +  e-st u(t 鈥 a) dt

	=   e-st (0) dt +  e-st (1) dt

	= 0 + [e-st/ -s 

	= -(1/ s)(0 - e-st)

	= e-as/ s

2. El segundo teorema de desplazamiento de la transformada de Laplace puede escribirse tambi茅n en t茅rminos de la funci贸n escal贸n unitario, de la siguiente manera,

SiL{f(t)} = F(s) y g(t) = f(t 鈥 a) u(t 鈥 a) entonces,

L{g(t)} = e-as F(s)

O,

L[f(t 鈥 a) u(t 鈥 a)] = e-as F(s)

3.Si L{f(t)} = F(s) entonces,

L[f(t) u(t 鈥 a)] = e-as L{f(t + a)}.

La prueba se muestra abajo

.L[f(t) u(t 鈥 a)] = e-st f(t) u(t 鈥 a) dt

	        =   e-stf(t) u(t 鈥 a) dt +  e-st f(t) u(t 鈥 a) dt

	        =   e-stf(t) (0) dt +  e-st f(t) (1) dt

		= 0 +  e-stf(t) dt

		= e-as   e-sx f(x + a) dx

   [Fijando t = x + a dt = dx]

		= e-as   e-stf(t + a) dt

L[f(t) u(t 鈥 a)] = e-as L{f(t + a)}

En la propiedad anterior hemos tomado dos funciones, u(t) y f(t). Aqu铆 la funci贸n f(t) tiene valor de cero cuando el valor de t es menor que cero y tiene valor de uno cuando el valor de t es mayor o igual que cero. La raz贸n detr谩s de esto es, cuando f(t) = 0, entonces u(t) f(t) = 0 y cuando f(t) = f(t), entonces u(t) f(t) = 1.

La transformada de Laplace de una funci贸n escal贸n unitario puede definirse de forma similar que para una funci贸n peri贸dica. Esto esporque una funci贸n escal贸n unitario es un caso especial de una funci贸n peri贸dica. Por lo tanto, para calcular la transformada de Laplace de esta funci贸n, primero sustituye la definici贸n de la funci贸n en la f贸rmula de la transformada de Laplace, y luego divide el integrando en los sub-intervalos como se define en la definici贸n de la funci贸n escal贸n unitarioy cada integrando se calcula por separado de sus respectivos l铆mites. La soluci贸n obtenida a partir de la integraci贸n es entonces reducidapara obtener el resultado final.

Demos ahora un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender la transformada de Laplace de una funci贸n escal贸n unitario.

Determina la transformada de Laplace de la funci贸n,

Sabemos que,

f(t) = 0, t < 2

      = (t - 2 ) cos (t - 2 ) + 2 cos (t - 2 ),	t < 2 

Por lo tanto, L{f(t)} = {[(s2 鈥 1)/ (s2 + 1)2] + 2 [s/ (s + 1)]}

Saludos y suerte prof lauro soto


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