Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales juegan un papel destacado en diversas disciplinas tales como ingeniería, física y economía. Una ecuación diferencial es una ecuación matemática de una función indeterminada de una o varias variables relacionada con los valores de la función en sí misma y con sus derivados de varios órdenes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos partes de la siguiente manera: -

1. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial cuando la función desconocida es función de varias variables independientes y la ecuación implica sus derivadas parciales.

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Se dice que una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinariacuando la función desconocida esfunción de una sola variable independiente. En la forma más simple, la función desconocida es una función valorada real o compleja.

Dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones diferenciales estas pueden llamarse homogéneas o no homogéneas. Una ecuación diferencial lineal homogénea es simplemente una ecuación en la cual ambos coeficientes de las diferenciales dy y dt son homogéneos, y las ecuaciones no homogéneas son sencillamente una ecuación en la cual ambos coeficientes de las diferenciales dy y dt no son homogéneas.

(d/ dt) y(t) + a(t) y(t) = 0 (Ecuación diferencial lineal homogénea)

(dy/dx) xy = x3 sin (x) (Ecuación diferencial lineal no homogénea)

La ecuación escrita arriba es llamada una ecuación diferencial lineal homogéneade primer orden. Se dice que es homogénea, porque después de colocar todos los términos que contienen la ecuación desconocida y sus derivados en el lado izquierdo, el lado derecho es igual a cero para todo t. Es lineal, porque y(t) y su derivado parecen estar “solos”, es decir, no son componentes de una función compuesta. En la expresión anterior a(t) representa una función continua autoritaria de t, yesta podría ser sólo una constante que se multiplica por y(t); en tal caso piensa en esta como una función constante de t. La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea, ya que no forma parte de una función compuesta como cos (y(t)), ey(t) etc.Cualquier ecuación diferencial que contenga términos como estos es llamada no lineal.

La ecuación anterior es de primer orden debido a que la mayor derivada de la función desconocida es su primera derivada. Una ecuación diferencial de segundo orden contendría términos como,

  

Se dice que es de segundo orden debido a la derivada de orden más altopresente, lineal, porque ninguna de las derivadas está elevada a alguna potencia, y los multiplicadores de las derivadas son constantes.

Sin embargo, esta no es una ecuación homogénea, ya que consta de una función conocida en el lado derecho, es decir, D. Una forma general de la ecuación diferencial lineal homogénea sería,

Del mismo modo, una ecuación diferencial lineal homogénea puede llegar hasta el enésimo orden.

Si asumimos que y¬1¬(x) e y¬2¬(x) son una de las soluciones de la ecuación diferencial linealhomogénea dada, la sumatoria de las dos, esto es, y3, x0 es también una de las soluciones de la ecuación diferencial dado que,

Y la solución general de esta ecuación puede determinarse mediante el uso de la ecuación,

Aquí tenemos A, B, m¬1¬, m¬2¬como términos constantes.

Saludos y suerte prof lauro soto


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