Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Ecuaciones De Rectas Y Planos

Ecuaciones De Rectas Y Planos

Ecuaciones de rectas y planos

Un vector es una cantidad que tiene tanto direcci贸n como magnitud.

Como una recta tiene magnitud en la forma de su longitud y su direcci贸n, es decir, que tiene un punto de partida y un punto de llegada, puede ser representada en forma de vector.

La ecuaci贸n vectorial de una recta se escribe con la ayuda de dos componentes: un vector de posici贸n y un vector de direcci贸n.

El vector posici贸n habla acerca de la longitud y la orientaci贸n de la recta mientras que el vector direcci贸n habla de su direcci贸n.

Ecuaci贸n de la recta:

La ecuaci贸n general de una recta en su forma vectorial es r=a + λ (b-a), donde a y b son los vectores posici贸n de los puntos A y B unidos por la recta.

Ecuaci贸n de la recta en forma param茅trica: Cualquier recta paralela a un vector distinto de cero se define por (a, b, c) y que pase por un punto (x0,y0,z0) tiene su ecuaci贸n en forma param茅trica de la siguiente manera-

x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct

Estas ecuaciones pueden ayudarnos a encontrar una recta que pase por un punto dado y que sea paralela a un vector dado, como se explica en el ejemplo 1.

Ejemplo 1:Encuentre la recta que pasa por el punto (1,−3, 2) y que es paralela al vector v= (4, 2,−5).

Soluci贸n: x=x0+at → x= 1+4t

y=y0+bt → y= −3+2t

z=z0+ct → z= 2–5t

Adem谩s, si necesitamos encontrar una recta que pase por dos puntos, podemos primero encontrar el vector paralelo a esa recta y buscar la recta que pase trav茅s de cualquiera de los dos puntos dados como se explica en el ejemplo 2.

Ejemplo 2: Encuentra la recta que pasa por (2,3,4) y (4,3,6). Soluci贸n: El vector desplazamiento, v, a trav茅s de los puntos dados puede ser escrito como

		v= (4–2, 3–3, 6–4)
	Esto es, v=(2, 0, 2)

Ahora bien, para encontrar una recta paralela a este vector, podemos observar las ecuaciones descritas anteriormente-

 x = 2+2t

 y= 3+0t

 z= 4+2t.

Ecuaci贸n del plano:

Considere un punto P0 (x0,y0,z0) que yace sobre el plano. Adem谩s, sea el punto P(x, y, z) cualquier punto en el plano y sea el vector (a, b, c) perpendicular al plano.

Sea y vectores posici贸nde P0 y P, respectivamente.

Entonces el vector -r yacer谩 en el plano dado y cualquier recta en el plano ser谩 perpendicular a .

Entonces, ∙ ( - )=0.Esta es la ecuaci贸n vectorial del plano.

Ahora, vamos a trabajar con algunos ejemplos para ver las ecuaciones de los planos dados en condiciones dadas.

Ejemplo 3: Encontrar la ecuaci贸n del plano que pasa a trav茅s de P (3,2,5), Q (2, −3,1) y R (1,3, −5).

Soluci贸n: Para encontrar la ecuaci贸n del plano, primero debemos encontrar los vectores que yacen en el plano.

Los dos vectores que definitivamente se encuentran en el plano son PQ y QR

              PQ= (−1,−2,−4) y  QR= (−1,6,−4)

Entonces estos vectores estar谩n en el plano. El producto vectorial de estos dos vectores ser谩 ortogonal a ambos vectores y por lo tanto, al plano.

n = PQ x OR

Ahora, la ecuaci贸n del plano puede encontrarse utilizando cualquier punto de los tres puntos dados. Consideremosel punto P (3,2,5), entonces,

La ecuaci贸n del plano es 32 (x-3) −8 (y-5). En la simplificaci贸n, producir谩 32x-8y = 56. Esta ecuaci贸n puede ser verificada para otros puntos en el plano tambi茅n.

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad


ASUS ZenPad Z300M-A2-GR 16GB Negro, Gris - Tablet (Tableta de tama駉 completo, IEEE 802.11n, Android, Pizarra, Android 6.0, Negro, Gris)