Ecuacion Diferencial Exactas

Ecuacion Diferencial Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas y factor de integración

Una ecuación diferencial exacta representa una forma general de las ecuaciones diferenciales a diferencia de las ecuaciones diferenciales homogéneas o las ecuaciones de Bernoulli. Para resolver una ecuación diferencial general, requerimos de un formato general o un enfoque general más que de una técnica especializada que intente simplificar un conjunto restringido de ecuaciones diferenciales. Una forma general de un diferencial es,

Esto puede ser reorganizado y escrito como,

Una ecuación diferencial es llamada exacta si para alguna función u, definida para las mismas variables que la ecuación diferencial, tenemos las siguientes condiciones verdaderas,

Esto significa que las derivadas parciales de esa función con respecto a la primera variable debería ser igual a uno de los términos de la ecuación diferencial y las derivadas parciales de esa función con respecto a la segunda variable debería ser igual al segundo término de la ecuación diferencial.

También que si la misma función de los segundos diferenciales parciales con respecto a la variable opuesta como la anterior, son continuos entonces tenemos que,

A la luz de las declaraciones anteriores, una prueba evaluadora para verificar que la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta sería,

Los siguientes son los pasos para obtener la solución para una ecuación diferencial exacta:

1. El primero y más importante paso es la realización de una prueba evaluadora para verificar si la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta o no.

2. Ahora, divide la ecuación e iguala los diferentes términos de la ecuación a los diferenciales parciales como,

3. Ahora integra cualquiera de las dos relaciones dependiendo de su nivel de complejidad. La primera relación se integra con respecto a x, mientras que la segunda está integrada con respecto a y. Imaginemos entonces que se elige,

El término está incluido en la integración porque es un integrando de un diferencial parcial donde hemos asumido que y es un término constante.

4. El valor de se determina mediante el uso de la segunda relación (la que no estaba integrada). Esto se hace mediante,

Como sabemos que ’(y) está definida solamente por la variable y, esto significa que si se obtienen unos términos que contienen la variable x en la ecuación dando el valor de ’(y), entonces tenemos que volver a rastrear toda la solución.

5. Después de obtener la expresión de ’(y) intégrala para determinar la expresión de (y).

6. Esta expresión es entonces sustituida en el integrando para determinar la expresión de la función u(x, y).

7. La ecuación implícita u(x, y) = C ofrece todas las respuestas.

8. En el caso de problemas de valor inicial, coloca los pre-requisitos iniciales para obtener el valor de la constante.

Sin embargo, no todas las ecuaciones vienen a ser una ecuación diferencial exacta. Luego para resolver estas ecuaciones, primero tenemos que determinar un factor de integración el cual hace de la ecuación una ecuación diferencial exacta y el procedimiento puede continuar. Esto significa que,

En este escenario necesitamos obtener una función u(x, y) tal que,

Esta es una ecuación diferencial exacta.

Esta función se denomina factor de integración de la ecuación diferencial dada. El factor de integración debería satisfacer,

Los pasos para determinar un factor de integración son:

1. Suponiendo que ladada es una ecuación diferencial inexacta calcula

Si la expresión obtenida sólo contiene la variable x, pasa al siguiente paso mas calcula,

Si la expresión obtenida sólo contiene la variable y, pasa al siguiente paso si no, no es posible resolver la ecuación diferencial usando esta técnica.

2. Si la expresión obtenida es definida sólopara la variable x entonces,

Si no,

3. Finally desarrolla,

4. Calcula esta ecuación para la exactitud y continúa resolviendo utilizando el procedimiento para la ecuación exacta.

Saludos y suerte prof lauro soto


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