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Ecuacion Diferencial Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas y factor de integraci贸n

Una ecuaci贸n diferencial exacta representa una forma general de las ecuaciones diferenciales a diferencia de las ecuaciones diferenciales homog茅neas o las ecuaciones de Bernoulli. Para resolver una ecuaci贸n diferencial general, requerimos de un formato general o un enfoque general m谩s que de una t茅cnica especializada que intente simplificar un conjunto restringido de ecuaciones diferenciales. Una forma general de un diferencial es,

Esto puede ser reorganizado y escrito como,

Una ecuaci贸n diferencial es llamada exacta si para alguna funci贸n u, definida para las mismas variables que la ecuaci贸n diferencial, tenemos las siguientes condiciones verdaderas,

Esto significa que las derivadas parciales de esa funci贸n con respecto a la primera variable deber铆a ser igual a uno de los t茅rminos de la ecuaci贸n diferencial y las derivadas parciales de esa funci贸n con respecto a la segunda variable deber铆a ser igual al segundo t茅rmino de la ecuaci贸n diferencial.

Tambi茅n que si la misma funci贸n de los segundos diferenciales parciales con respecto a la variable opuesta como la anterior, son continuos entonces tenemos que,

A la luz de las declaraciones anteriores, una prueba evaluadora para verificar que la ecuaci贸n dada es una ecuaci贸n diferencial exacta ser铆a,

Los siguientes son los pasos para obtener la soluci贸n para una ecuaci贸n diferencial exacta:

1. El primero y m谩s importante paso es la realizaci贸n de una prueba evaluadora para verificar si la ecuaci贸n dada es una ecuaci贸n diferencial exacta o no.

2. Ahora, divide la ecuaci贸n e iguala los diferentes t茅rminos de la ecuaci贸n a los diferenciales parciales como,

3. Ahora integra cualquiera de las dos relaciones dependiendo de su nivel de complejidad. La primera relaci贸n se integra con respecto a x, mientras que la segunda est谩 integrada con respecto a y. Imaginemos entonces que se elige,

El t茅rmino est谩 incluido en la integraci贸n porque es un integrando de un diferencial parcial donde hemos asumido que y es un t茅rmino constante.

4. El valor de se determina mediante el uso de la segunda relaci贸n (la que no estaba integrada). Esto se hace mediante,

Como sabemos que 鈥(y) est谩 definida solamente por la variable y, esto significa que si se obtienen unos t茅rminos que contienen la variable x en la ecuaci贸n dando el valor de 鈥(y), entonces tenemos que volver a rastrear toda la soluci贸n.

5. Despu茅s de obtener la expresi贸n de 鈥(y) int茅grala para determinar la expresi贸n de (y).

6. Esta expresi贸n es entonces sustituida en el integrando para determinar la expresi贸n de la funci贸n u(x, y).

7. La ecuaci贸n impl铆cita u(x, y) = C ofrece todas las respuestas.

8. En el caso de problemas de valor inicial, coloca los pre-requisitos iniciales para obtener el valor de la constante.

Sin embargo, no todas las ecuaciones vienen a ser una ecuaci贸n diferencial exacta. Luego para resolver estas ecuaciones, primero tenemos que determinar un factor de integraci贸n el cual hace de la ecuaci贸n una ecuaci贸n diferencial exacta y el procedimiento puede continuar. Esto significa que,

En este escenario necesitamos obtener una funci贸n u(x, y) tal que,

Esta es una ecuaci贸n diferencial exacta.

Esta funci贸n se denomina factor de integraci贸n de la ecuaci贸n diferencial dada. El factor de integraci贸n deber铆a satisfacer,

Los pasos para determinar un factor de integraci贸n son:

1. Suponiendo que ladada es una ecuaci贸n diferencial inexacta calcula

Si la expresi贸n obtenida s贸lo contiene la variable x, pasa al siguiente paso mas calcula,

Si la expresi贸n obtenida s贸lo contiene la variable y, pasa al siguiente paso si no, no es posible resolver la ecuaci贸n diferencial usando esta t茅cnica.

2. Si la expresi贸n obtenida es definida s贸lopara la variable x entonces,

Si no,

3. Finally desarrolla,

4. Calcula esta ecuaci贸n para la exactitud y contin煤a resolviendo utilizando el procedimiento para la ecuaci贸n exacta.

Saludos y suerte prof lauro soto


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