Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Ecuacion Diferencial De Variables Separables Y Reducibles

Ecuacion Diferencial De Variables Separables Y Reducibles

Ecuaci贸n diferencial de variables separadas y reducibles

El m茅todo de separaci贸n de variables es una de las varias t茅cnicas utilizadaspara resolver las ecuaciones diferenciales.

S贸lo es posible aplicar la t茅cnica de separaci贸n de variables a aquellas funciones que han sido transformadas, de manera tal,que el diferencial de la variable particular s贸lo aparece con una funci贸n definiendo esta variable y no con otra funci贸n.

Adem谩s esa funci贸n debe tener s贸lo esa variable en particular y no otra variable. La forma reducida de tal funci贸n es,

Esta t茅cnica de soluci贸n de ecuaciones diferenciales tiene su base en la suposici贸n de que para una funci贸n definida como:

habr谩 una respuesta para alguna secuaciones diferenciales parciales homog茅neas definidas de forma lineal. Esta ecuaci贸n diferencial ser谩 definida para las variables x y t. Hacer esta suposici贸n reducir谩 las ecuaciones diferenciales en funciones definidas separadamente que son sumadas juntas, ya que sabemos que todas las funciones indefinidas en cada ecuaci贸n diferencial dada es constante si tenemos el producto de estas funciones con las variables independientes como t茅rminos constantes.

Estas funciones definidas separadamente, pueden ser finalmente, integradas por separado utilizando las t茅cnicas adecuadas de integraci贸n y se suman juntas para obtener el resultado final.

Por ejemplo, para la ecuaci贸n diferencial u/ t = c ( 2u/ x2) dada u(x, 0) = f(x), u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0, podemos aplicar la t茅cnica de separaci贸n de variables.

De acuerdo con la t茅cnica de separaci贸n de variables, el resultado de resolver la ecuaci贸n ser谩 un producto de las funciones en la ecuaci贸n dada como,

Para resolver la ecuaci贸n diferencial dada coloca esto en la ecuaci贸n dada para calcular la resultante,

[ ( (x) G(t))]/ t = c [ 2( (x) G(t))]/ x2

 (x) dG/ dt = c G(t) d2 / dx2

En la relaci贸n anterior, G(t) puede ser factorizada fuera de las diferenciales espaciales y (x) puede ser factorizada fuera de la variable tiempo. Esto dejar谩 la relaci贸n sin ning煤n tipo de diferenciales parciales. Sin embargo, esto convertir铆a la ecuaci贸n en mucho m谩s cr铆ptica, entonces mejor reorganiza la ecuaci贸n dada para mover las variables de un lado a otro como,

(1/ G) dG/ dt = c (1/ ) d2 / dx2 (1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2

Despu茅s de terminar este proceso, finalmente necesitamos hacer las dos ecuaciones iguales con el fin de aplicar la t茅cnica de separaci贸n variable. Esto se hace mediante igualar la ecuaci贸n completa en una constanteseparaci贸n como,

(1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2 = -

Esta relaci贸n puede ser dividida en dos ecuaciones ordinarias como,

dG/ dt = -c G y, d2 / dx2 = -

Ahora cambiemos nuestro enfoque a las condiciones iniciales establecidas.

La primera establece que, u(0, t) = 0 = G(t) (0). Sin embargo igualando G(t) a cero ser铆a u(x, t) = 0 conduciendo a una soluci贸n trivial. Por tanto, (t) = 0. Y la segunda establece u(L, t) = 0 = G(t) (L). Tenemos de nuevo (L) = 0 para tener una soluci贸n no trivial.

Un peque帽o ejemplo ser铆a de mucha ayuda.

2dq/ q = [(p + 1) dp]/ p

Reorganiza la ecuaci贸n anterior para obtener,

2dq/ q = [1 + 1/ p] dp

La ecuaci贸n anterior tiene sus variables separadas y ya es posible integrarlas por separado,

2dq/ q = [1 + 1/ p] dp

2 ln q = p + ln p + C

Saludos y suerte prof lauro soto


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