Ecuacion Diferencial De Bernoulli

Ecuacion Diferencial De Bernoulli

Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma general,

es llamada una ecuación diferencial de Bernoulli si el valor de n no es igual a cero o a uno. Una ecuación de Bernoulli es una extensión de la ecuación diferencial lineal o en otras palabras, una ecuación diferencial lineal es un caso especial de la ecuación de Bernoulli dado que, mediante hacer el valor de n igual a cero o uno, la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal.

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial no lineal. Generalmente se utiliza el método de sustitución para resolver la ecuación diferencialde Bernoulli. De forma general sustituimos,

v = y1-n

Por lo tanto, tenemos que,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 – n) q(x)

Al hacer estas transformaciones, podemos convertir la ecuación dada en una ecuación lineal en términos de la variable v, la cual puede ser resuelta con facilidad. Después de resolver esta ecuación, se obtendrá una ecuación de la forma

y = v1/(1-n)

Aquí, si el valor de n es mayor que uno, entonces es necesario agregar y = 0 como una de las soluciones de la ecuación diferencial dada.

Los pasos detallados para resolver la ecuación de Bernoulli son:

1. Calcula la ecuación diferencial para verificar si la ecuación dada es una ecuación de Bernoulli.

2. Realiza la sustitución en la ecuación dada.

v = y1-n

3. Ahora, haciendo uso de las técnicas de diferenciación, determina la ecuación que la nueva variable v puede satisfacer. La forma de esta ecuación es como la siguiente,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 – n) q(x)

4. Luego resuelve esta ecuación lineal para determinar el valor de la nueva variable v.

5. Ahora reprograma la ecuación diferencial de Bernoulliactual. Esto se hace mediante sustituir el valor de v en la ecuación,

y = v1/(1-n)

Esto nos dará el valor de la variable y. Ahora coloca el valor de y en la ecuación diferencial dada.

6. En caso de que el valor de n sea mayor que uno, entonces y = 0 también se agrega a la lista de soluciones determinada en el paso cuatro.

7. Para los problemas de valor inicial, la solución exacta puede obtenerse colocando las condiciones iniciales en la ecuación.

Para entender mejor el procedimiento observa el ejemplo a continuación.

Obtén todas las respuestas para la ecuación diferencial de Bernoulli dy/ dx = y + y2.

Como puedes observar, la ecuación de Bernoulli dada tiene el valor de n = 3. Ahora, haciendolassustituciones en la ecuación,

v = y1-n

v = y-2

Esto nos da la nueva ecuación diferencial en términos de la nueva variable v como,

dv/ dx + 2v = −2

Al hacer uso de la prueba evaluadora, puede decirse que es una ecuación diferencial lineal. Para resolver esta ecuación, primero determinemos el factor de integración de la ecuación.

u(x). = exp ( 2 dx)

= e2x

u(x) q(x) dx

= e2x −2 dx

= -e2x

Esto nos da la solución general de la diferencial como,

v = [-e2x + c]/ e2x

 = c e-2x – 1

Entonces el valor de y se calcula y = v-1/2

Ahora, resolviendo la ecuación diferencialde Bernoulli, y = ± (c e-2x – 1)−1/2

Como el valor de n es mayor que uno, por lo tanto, y = 0 es también una de las soluciones.

Saludos y suerte prof lauro soto


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