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Ecuacion Diferencial De Bernoulli

Ecuaci贸n diferencial de Bernoulli

Una ecuaci贸n diferencial de la forma general,

es llamada una ecuaci贸n diferencial de Bernoulli si el valor de n no es igual a cero o a uno. Una ecuaci贸n de Bernoulli es una extensi贸n de la ecuaci贸n diferencial lineal o en otras palabras, una ecuaci贸n diferencial lineal es un caso especial de la ecuaci贸n de Bernoulli dado que, mediante hacer el valor de n igual a cero o uno, la ecuaci贸n se reduce a una ecuaci贸n diferencial lineal.

Por lo tanto, la ecuaci贸n de Bernoulli es una ecuaci贸n diferencial no lineal. Generalmente se utiliza el m茅todo de sustituci贸n para resolver la ecuaci贸n diferencialde Bernoulli. De forma general sustituimos,

v = y1-n

Por lo tanto, tenemos que,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 鈥 n) q(x)

Al hacer estas transformaciones, podemos convertir la ecuaci贸n dada en una ecuaci贸n lineal en t茅rminos de la variable v, la cual puede ser resuelta con facilidad. Despu茅s de resolver esta ecuaci贸n, se obtendr谩 una ecuaci贸n de la forma

y = v1/(1-n)

Aqu铆, si el valor de n es mayor que uno, entonces es necesario agregar y = 0 como una de las soluciones de la ecuaci贸n diferencial dada.

Los pasos detallados para resolver la ecuaci贸n de Bernoulli son:

1. Calcula la ecuaci贸n diferencial para verificar si la ecuaci贸n dada es una ecuaci贸n de Bernoulli.

2. Realiza la sustituci贸n en la ecuaci贸n dada.

v = y1-n

3. Ahora, haciendo uso de las t茅cnicas de diferenciaci贸n, determina la ecuaci贸n que la nueva variable v puede satisfacer. La forma de esta ecuaci贸n es como la siguiente,

dv/ dx + (1 + n) p(x) v = (1 鈥 n) q(x)

4. Luego resuelve esta ecuaci贸n lineal para determinar el valor de la nueva variable v.

5. Ahora reprograma la ecuaci贸n diferencial de Bernoulliactual. Esto se hace mediante sustituir el valor de v en la ecuaci贸n,

y = v1/(1-n)

Esto nos dar谩 el valor de la variable y. Ahora coloca el valor de y en la ecuaci贸n diferencial dada.

6. En caso de que el valor de n sea mayor que uno, entonces y = 0 tambi茅n se agrega a la lista de soluciones determinada en el paso cuatro.

7. Para los problemas de valor inicial, la soluci贸n exacta puede obtenerse colocando las condiciones iniciales en la ecuaci贸n.

Para entender mejor el procedimiento observa el ejemplo a continuaci贸n.

Obt茅n todas las respuestas para la ecuaci贸n diferencial de Bernoulli dy/ dx = y + y2.

Como puedes observar, la ecuaci贸n de Bernoulli dada tiene el valor de n = 3. Ahora, haciendolassustituciones en la ecuaci贸n,

v = y1-n

v = y-2

Esto nos da la nueva ecuaci贸n diferencial en t茅rminos de la nueva variable v como,

dv/ dx + 2v = −2

Al hacer uso de la prueba evaluadora, puede decirse que es una ecuaci贸n diferencial lineal. Para resolver esta ecuaci贸n, primero determinemos el factor de integraci贸n de la ecuaci贸n.

u(x). = exp ( 2 dx)

= e2x

u(x) q(x) dx

= e2x −2 dx

= -e2x

Esto nos da la soluci贸n general de la diferencial como,

v = [-e2x + c]/ e2x

 = c e-2x 鈥 1

Entonces el valor de y se calcula y = v-1/2

Ahora, resolviendo la ecuaci贸n diferencialde Bernoulli, y = ± (c e-2x 鈥 1)−1/2

Como el valor de n es mayor que uno, por lo tanto, y = 0 es tambi茅n una de las soluciones.

Saludos y suerte prof lauro soto


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