Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Ecuacion Caracteristica Para Ecuacion Diferencial Lineal De Segundo Orden

Ecuacion Caracteristica Para Ecuacion Diferencial Lineal De Segundo Orden

Ecuaci贸n caracter铆stica para una ecuaci贸n diferencial lineal de segundo orden (ra铆ces reales y distintas, ra铆ces reales e iguales, ra铆z del conjugado complejo)

Un formato informal para denotar una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅nea es,

En la ecuaci贸n diferencial anterior, la funci贸n y es la funci贸n desconocida que define la variable x. Esta es una ecuaci贸n diferencial de segundo orden dado que el orden diferencial m谩s alto en la ecuaci贸n es dos. Si el valor del coeficiente a卢2 se convierte en cero o el diferencial y鈥欌 es cero, entonces nos quedamos con una ecuaci贸n diferencial lineal homog茅neade primer orden.

Ahora, divide la ecuaci贸n anterior con a卢2卢, entonces tenemos,

y鈥欌 + a卢1卢/ a卢2卢 y鈥 + a卢0卢/ a卢2卢 y = 0

Ahora, sustituye y = exp( x) en la ecuaci贸n anterior. Hacemos esto porque estamos encontrando una soluci贸n que envuelve un t茅rmino exponencial. Esto es debido a que esta t茅cnica nos da la soluci贸n en la mayor铆a de los casos. En consecuencia,nos deja con una ecuaci贸n de la forma,

 2  + c卢1卢   +c卢0   = 0

En la ecuaci贸n anterior tenemos el valor de c卢1卢 = a卢1卢/ a卢2 y el valor dec卢0卢 = a卢0卢/ a卢2卢. Sabemos de antemano que el valor de no es igual a cero. Entonces podemos dividir toda la ecuaci贸n con este t茅rmino. La ecuaci贸n transformada es,

 2 + c卢1卢  +c卢0 = 0

La ecuaci贸n anterior es una ecuaci贸n algebraica que puede resolverse f谩cilmente para obtener la respuesta. Esta ecuaci贸n se denomina la ecuaci贸n caracter铆stica de la ecuaci贸n diferencial, esto es, una ecuaci贸n que es de forma algebraica y que puede ser sustituida por una ecuaci贸n diferencial para obtener el resultado necesario de una manera conveniente. Si la ecuaci贸n anterior se resuelve entonces tenemos la ra铆z de la ecuaci贸ncomo , y por tanto, demuestra nuestra sustituci贸n.

Para una ecuaci贸n cuadr谩tica de la forma,

a 2 + b卢 +c卢= 0

Las ra铆ces de esta ecuaci贸n cuadr谩tica pueden obtenerse como,

Por consiguiente tenemos para nuestra ecuaci贸n caracter铆stica tenemos quea = 1, b = c卢1卢 y c = c卢卢0-Esto nos da,

Si el t茅rmino dentro de la ra铆z cuadrada es positivo, entonces tenemos una ra铆z positiva y una ra铆z negativade la ecuaci贸n.

Ahora, sea la ecuaci贸n diferencial, y鈥欌 鈥 y鈥 = 0, entonces la ecuaci贸n caracter铆stica para la ecuaci贸n diferencial dada es,

 2 鈥 1 = 0

Y las ra铆ces de esta ecuaci贸n cuadr谩tica son,

  = (  / 2) la cualnos da   =  1.

Ahora, sea otra ecuaci贸n diferencial de la forma, y鈥欌 + y鈥 鈥 2y = 0. Por lo tanto, la ecuaci贸n caracter铆stica de la ecuaci贸n diferencial dada es,

 2 +   - 2 = 0

Y las ra铆ces para esta ecuaci贸n cuadr谩tica son,

  = [(−1   )/ 2]

  = [(−1  3)/ 2]

 卢1卢 = 1 and  卢2卢 = −2

Por tanto, tenemos ra铆ces reales y distintas.

Y si el t茅rmino dentro de la ra铆z cuadrada, esto es,鈥揷卢1卢 , es negativo, entonces tenemos dos ra铆ces complejas como el resultado. En tal escenario las ra铆ces complejas obtenidas son de la forma,

 卢1卢 = [(-c卢1卢 + ik)/ 2]   y,

 卢2卢 = [(-c卢1卢 - ik)/ 2]

Saludos y suerte prof lauro soto


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