Ecuacion Caracteristica Para Ecuacion Diferencial Lineal De Segundo Orden

Ecuacion Caracteristica Para Ecuacion Diferencial Lineal De Segundo Orden

Ecuación característica para una ecuación diferencial lineal de segundo orden (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíz del conjugado complejo)

Un formato informal para denotar una ecuación diferencial lineal homogénea es,

En la ecuación diferencial anterior, la función y es la función desconocida que define la variable x. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden dado que el orden diferencial más alto en la ecuación es dos. Si el valor del coeficiente a¬2 se convierte en cero o el diferencial y’’ es cero, entonces nos quedamos con una ecuación diferencial lineal homogéneade primer orden.

Ahora, divide la ecuación anterior con a¬2¬, entonces tenemos,

y’’ + a¬1¬/ a¬2¬ y’ + a¬0¬/ a¬2¬ y = 0

Ahora, sustituye y = exp( x) en la ecuación anterior. Hacemos esto porque estamos encontrando una solución que envuelve un término exponencial. Esto es debido a que esta técnica nos da la solución en la mayoría de los casos. En consecuencia,nos deja con una ecuación de la forma,

 2  + c¬1¬   +c¬0   = 0

En la ecuación anterior tenemos el valor de c¬1¬ = a¬1¬/ a¬2 y el valor dec¬0¬ = a¬0¬/ a¬2¬. Sabemos de antemano que el valor de no es igual a cero. Entonces podemos dividir toda la ecuación con este término. La ecuación transformada es,

 2 + c¬1¬  +c¬0 = 0

La ecuación anterior es una ecuación algebraica que puede resolverse fácilmente para obtener la respuesta. Esta ecuación se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial, esto es, una ecuación que es de forma algebraica y que puede ser sustituida por una ecuación diferencial para obtener el resultado necesario de una manera conveniente. Si la ecuación anterior se resuelve entonces tenemos la raíz de la ecuacióncomo , y por tanto, demuestra nuestra sustitución.

Para una ecuación cuadrática de la forma,

a 2 + b¬ +c¬= 0

Las raíces de esta ecuación cuadrática pueden obtenerse como,

Por consiguiente tenemos para nuestra ecuación característica tenemos quea = 1, b = c¬1¬ y c = c¬¬0-Esto nos da,

Si el término dentro de la raíz cuadrada es positivo, entonces tenemos una raíz positiva y una raíz negativade la ecuación.

Ahora, sea la ecuación diferencial, y’’ – y’ = 0, entonces la ecuación característica para la ecuación diferencial dada es,

 2 – 1 = 0

Y las raíces de esta ecuación cuadrática son,

  = (  / 2) la cualnos da   =  1.

Ahora, sea otra ecuación diferencial de la forma, y’’ + y’ – 2y = 0. Por lo tanto, la ecuación característica de la ecuación diferencial dada es,

 2 +   - 2 = 0

Y las raíces para esta ecuación cuadrática son,

  = [(−1   )/ 2]

  = [(−1  3)/ 2]

 ¬1¬ = 1 and  ¬2¬ = −2

Por tanto, tenemos raíces reales y distintas.

Y si el término dentro de la raíz cuadrada, esto es,–c¬1¬ , es negativo, entonces tenemos dos raíces complejas como el resultado. En tal escenario las raíces complejas obtenidas son de la forma,

 ¬1¬ = [(-c¬1¬ + ik)/ 2]   y,

 ¬2¬ = [(-c¬1¬ - ik)/ 2]

Saludos y suerte prof lauro soto


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