Descomposicion Vectorial En 3 Dimensiones

Descomposicion Vectorial En 3 Dimensiones

Descomposición de Vectores en Tres Dimensiones

La técnica de bifurcación de un vector en sus componentes en las tres dimensiones es denominada descomposición de vectores en tres dimensiones.

Estos componentes actúan en sus respectivas direcciones.

El componente-Xes el componente en el eje X, y el componente-Y es el componente a lo largo del eje Y, y el componente-Z es el componente en el eje z.

La noción de suma vectorial y la descomposición del vector están ligadas una con la otra.

De acuerdo con la ley del triángulo del vector, “Si dos lados de un triángulo son representados por dos vectores continuos y , entonces el tercer lado del triángulo que está en la dirección opuesta es el resultante de los dos vectores”.

Inversamente, puede afirmarse que un vector puede ser representado como la suma de otros dos vectores.

O más en general, podemos concluir que un vector puede ser considerado como el equivalente de la sumatoria de dos vectores.

Esta idea fue la base de la descomposición de vectores.

Por encima se muestran los fundamentos de los vectores del sistema de coordenadas Cartesiano.

Estos son vectores perpendiculares entre sí, cada uno en una dirección de los tres espacios dimensionales.

Sea construya el ángulo , y con el eje x, y e z respectivamente.

  =  

Entonces podemos escribir,

Px = P cos (0x ) → cos (0x) = Px/ P = A

Py = P cos (0y ) → cos (0y) = Py/ P = B

Pz = P cos (0z ) → cos (0y) = Pz/ P = C

  =   +  +  

O,

P = Px+ Py+ Pz

Con la ayuda de la geometría plana se puede demostrar que,

P2 = Px2 + Py2 + Pz2

O,

P =

Esto es igual a la magnitud de P.

cos (0x), cos (0y) y cos (0y) nos dan la dirección P en el espacio,por lo cual estas se conocen como cosenos de dirección. P.

cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = [Px/ P]2 + [Py/ P]2 + [Pz/ P]2

= Px2+ Py2+ Pz2/ P2

= P2 / P2

= 1

cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = 1
A2 + B2 + C2 = 1

Un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda,

Escriba los cosenos direccionales de = 2i - 3j - k

Sea = ax + ay + az

ax = 2
ay = −3
az = −1

Y conocemos que, a =

 =  

 =  

Por tanto, cos (0x) = ax/ a = 2/

cos (0y) = ay/ a = −3/

cos (0y) = az/ a = −1/

El vector de descomposición es un concepto fundamental por dos razones.

Primeramente, nos ayuda a determinar la consecuencia de alguna cantidad física en una dirección determinada y en segundo lugar, constituye la base del análisis algebraico de un vector debido a que nos ayuda en la representación de un vector en términos de tres vectores que actúan en los tres ejes de un sistema de coordenadas Cartesianas.

De manera similar un vector también puede ser descompuesto en dos dimensiones,lo que se denomina descomposición planar.

Saludos y suerte prof lauro soto


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