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Derivacion De Funciones Vectoriales Y Sus Propiedades

Derivaci贸n de funciones vectoriales y sus propiedades

El c谩lculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido tambi茅n paraser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una funci贸n vectorial, es en realidad, una funci贸n compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una funci贸n independiente que determina el efecto del cambio de variable en su direcci贸n correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a trav茅s de la funci贸n compuesta, esta esla funci贸n vectorial.

Puesto que una funci贸n vectorial es una funci贸n compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las t茅cnicas utilizadas para integrar una funci贸n Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una funci贸n vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.

Asuma que es la funci贸n vectorial que ser谩 diferenciada para obtener dr/dt o . Aqu铆 la diferenciaci贸n se lleva a cabo con respecto al tiempo 鈥榯鈥 porque una funci贸n valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta funci贸n se denota como,

lim = [ (t + h) - (t)]/ h

Los conceptos del c谩lculo Cartesiano son aplicables aqu铆 tambi茅n, lo que significa que esta derivadade la funci贸n vectorial representar铆a la tangente a la curva de la funci贸n dada en alg煤n punto.

Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la funci贸n: 1. (t) es real en el tiempo t s贸lo existe una derivada de en 鈥榯鈥.

2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la funci贸n dada es diferenciable para ese intervalo.

Al considerar los l铆mites de un lado esta diferenciaci贸n se puede extender tambi茅n al intervalo cerrado.

Ahora diferenciemos una funci贸n valorada vectorial.

 (t) = t cos (t), −2 sin (t)>

f(t) = t cos (t)

g(t) = −2 sin (t)

d(f(t))/ dt = cos (t) 鈥 t sin (t)

d(g(t))/ dt = −2 cos (t)

(t) = < cos (t) 鈥 t sin (t), −2 cos (t)

Existen ciertas propiedades de la derivada de una funci贸n vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuaci贸n.

Asuma que que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo 鈥榯鈥. Tambi茅n que es una funci贸n valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo 鈥榯鈥, y que s es una cantidad escalar.Entonces,

1. La diferenciaci贸n del producto de una cantidad escalar con una funci贸n vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la funci贸n vectorial.

2. La diferenciaci贸n de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.

Esta regla tambi茅n es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales.

3. La diferenciaci贸n del producto de una funci贸n vectorial y una funci贸n valorada real es igual a la suma del producto de la funci贸n real con la derivada de la funci贸n vectorial y la derivada de la funci贸n real con la funci贸n vectorial.

Saludos y suerte prof lauro soto


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