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Dependencia E Independencia Lineal

En 谩lgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinaci贸n lineal de los restantes.

Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Sea v1,v2,…,vn un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen n煤meros a1,a2,…,an , no todos iguales a cero, tal que:

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal as铆:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si.

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos : Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinaci贸n lineal de los dem谩s.

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambi茅n lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinaci贸n de los dem谩s, escogiendo solamente unos cuantos, no podr谩n ser combinaci贸n de los otros.

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente tambi茅n lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene alg煤n vector que es combinaci贸n lineal de los dem谩s, si metemos este conjunto de vectores en otro m谩s grande, seguimos teniendo el vector que es combinaci贸n lineal de otros, por tanto, el conjunto m谩s grande sigue siendo linealmente dependiente.

Significacion Geometrica

Geom茅tricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma direcci贸n (con sentidos id茅nticos u opuestos). Esta definici贸n supone que el vector nulo tiene todas las direcciones ,en otras palbras este debe generar un area.

Tres vectores son independientes si y solo si no est谩n contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinaci贸n lineal de los otros dos (en cuyo caso estar铆a en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores.

Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector.

El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene.

Resulta f谩cil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusi贸n) espacio vectorial que los contiene a todos.

Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensi贸n n (dimensi贸n en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano…)

fuente:Dependencia e independencia lineal. (2011, 13) de mayo. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 23:55, mayo 24, 2011 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dependencia_e_independencia_lineal&oldid=46360196.


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