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Definicion De Un Vector

Definici贸n de un vector en R2, R3 y su interpretaci贸n geom茅trica

Un objeto en las matem谩ticas que posea magnitud as铆 como direcci贸n es la definici贸n perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3).

Existen dos propiedades importantes de los vectores R2:

1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2).

2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma

B (p1, p2) = (B p1, B p2).

Vamos a considerar la interpretaci贸n geom茅trica de la Sumatoria de los vectores R2:

De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignaci贸n de la representaci贸n de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como:鈥淪uma del Paralelogramo鈥.

Estos vectores R2 tambi茅n pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre s铆. Estos componentes son generados con respecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de m煤ltiples dimensiones.

El vector componente est谩 relacionado con el componente escalar b, de forma que:

= Vx i^
= Vy j^

Similar al vector R2, R3 tambi茅n posee las propiedades:

1.Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3).

2.Producto Escalar: Considere B ? R y el vector P en R3, en este caso el producto escalar es de la forma

            B (p1, p2, p3) = (Bp1, Bp2, Bp3).

Otra propiedad importante de los vectores R2 y R3 es conocida como superposici贸n. Esta es la combinaci贸n de la suma vectorial y la multiplicaci贸n escalar. De acuerdo con esta, si existen dos vectores A y B y los escalares a y b, entonces la superposici贸n puede ser representada como:

aA + bB

Uno puede encontrar el vector variable se帽alizado con un signo negativo. Este signo negativo indica direcci贸n opuesta y no una magnitud negativa. Por lo tanto, un caso espec铆fico de la propiedad de la superposici贸n es cuando a = 1 y b = −1. En este caso, obtenemos

(1)A + (−1) B = aA - bB

Por lo tanto, se conoce como sustracci贸n. Estas propiedades de superposici贸n y sustracci贸n tambi茅n pueden ser aplicadas a los vectores de R3.

Veamos un ejemplo de R3.

Considere el vector R3 y un vectorR3

La suma y la resta de los vectores son bastante f谩ciles, por tanto observando la multiplicaci贸n de estos dos vectores, obtenemos

=

Saludos y suerte prof lauro soto


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