Motorola Moto G 4ta Generacion Plus, 5.5", C醡ara 16Mp, 32GB, Procesador Snapdragon 617 Octo-Core, Android Marshmallow 6.0.1, color Negro, Dual SIM, XT1641 Definicion De La Transformada De Laplace

Definicion De La Transformada De Laplace

Definici贸n de las transformadas de Laplace

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuaci贸n diferencial que contiene las diferenciales de una funci贸n indefinida, a partir de una ecuaci贸n t-espaciada hacia una ecuaci贸n s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. Tambi茅n pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Est谩n dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.

La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto esporque transforma las operaciones de integraci贸n en simples operaciones algebraicas que son mucho m谩s convenientes de resolver. Despu茅s de la cual la aplicaci贸n de la t茅cnica de la transformada inversa produce la soluci贸n exacta para la ecuaci贸n diferencial dada. El procedimiento completo puede demostrarse como,

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Matem谩ticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: 鈥淧ara una funci贸n dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integraci贸n de los productos de esa funci贸n con el n煤cleo de la transformaci贸n cuyos l铆mites de integraci贸n son[0, )鈥.

Aqu铆, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el par谩metro de entrada de la funci贸n valorada real y s es el par谩metro de la funci贸n compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La funci贸n de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notaci贸n convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la funci贸n de entrada. Estos son:

1. La entrada de la funci贸n valorada real debe ser una funci贸n a trozos que est茅 continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).

2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la funci贸n debe alcanzar el orden exponencial. En t茅rminos simples, debe existir una constante de tres t茅rminosa, K, t donde,

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.

Una transformada de Laplace puede considerarse como un superconjunto de la representaci贸n Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posici贸n est谩tica. Sin embargo, tambi茅n es posible utilizarla para modelar la tasa de variaci贸n de alg煤n sistema.

A continuaci贸n se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:

1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuaci贸n diferencial dada. Esto se hace mediante la sustituci贸n de d/ dt con s, el cual es el par谩metro de la ecuaci贸n transformada.

2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la funci贸n de entrada en el dominio de s.

3. Haz uso de los m茅todos algebraicos para combinar la funci贸n de transferencia con la funci贸n de entrada con el fin de determinar la funci贸n de salida.

4. Factoriza la funci贸n de salida con la ayuda de la t茅cnica de fracciones parciales.

5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la soluci贸n de nuevo al dominio t.

Demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender claramente el concepto.

q鈥 - 6q鈥 + 15q = 2sin (3t) given y(0) = −1 y鈥(0) = −4

s2Y(s) 鈥 sy(0) 鈥 y鈥(0) −6(sY(s) 鈥搚(0)) +15Y(s) = 2[3/ s2 + 9]

Y(s) = [-s3 +2s2 −9s + 24]/ [(s2 + 9) (s2 −6s + 15)]

Y(s) = [As + B]/ [(s2 + 9)] + [Cs + D]/ [(s2 −6s + 15)]

-s3 +2s2 −9s + 24 = (As + B)(s2 −6s + 15) + (Cs + D)[(s2 + 9)

= (A + C)s3 + (−6A + B + D)s2 + (15A 鈥 6B + 9C)s + 15B + 9D

A = 1/10

B = 1/10

C = -(11/10)

D = 5/2

Y(s) = (1/10){[s + 1]/[(s2 + 9)] + [−11s + 25]/[(s2 −6s + 15)]}

Y(s) = (1/10){[s]/[(s2 + 9)] +[1.(3/3)]/[(s2 + 9)] 鈥 [11(s 鈥 3)]/ [(s 鈥 3) + 6] 鈥 [8.( )]/[(s 鈥 3) + 6]}

y(t) = (1/10){cos (3t) +1/3 sin (3t) 鈥 11e3tcos ( t) 鈥 8/ e3t sin ( t)}

Saludos y suerte prof lauro soto


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