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Coordenadas Polares

Coordenadas polares

Un sistema de coordenadas bidimensionaltambién es conocido como sistema de coordenadas polares. En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del polo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.

En general, el radio está representado por ‘r’, lo cual convierte a la coordenada radial y al ángulo polar mediante t, o a veces mediante , lo cual convierte las coordenadas polares o las coordenadas angulares. Estos ángulos polares se calculan en radianes o grados. Un valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección del eje correspondiente.

   se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el primer cuadrante o eje x.

Una coordenada polar también puede convertirse en una coordenada Cartesiana correspondiente, por ejemplo

x = r cos

y = r sin

Aquí x e y son las coordenadas Cartesianas correspondientes a las coordenadas polares ry . Por tanto,

En este caso, siempre estará en el intervalo (-π, π]. Esto es, entre 180 º a −180 º grados. Sin embargo, las fórmulas anteriores consideran que el polo está en el origen de las coordenadas Cartesianas, el eje x es el eje polar, y el eje y se encuentra en la dirección de 90 º.

Consideremos las ecuaciones circulares en términos de coordenadas polares:

Una ecuación circular con un radio a y el origen como su centro estárepresentado por x2 + y2 = a2.

Ahora haciendo uso de las ecuaciones

x = r cos

y = r sin

Obtenemos,

r2cos2 + r2sin2 = a2

Esto produce,

r2 (cos2 + sin2 ) = a2

Ahora, por la reglatrigonométrica, cos2 + sin2 = 1

Esto da, r2 = a2

Esto es, r = a.

Por consiguiente, la ecuación del círculo x2 + y2 = a2en coordenadas Cartesianas puede transformarse a la ecuación en coordenadas polares r = a.

Entendamos ahora los pasos para la obtención de las coordenadas polares de un punto que se encuentra sobre el plano.

•Sea O un punto estático sobre el plano, nómbrelo como polo.

•Dibuje el eje xy el eje y que pasa por el punto elegido. El vector que yace sobre el eje x es E, cuyo valor absoluto es 1.

•A continuación, elija otro punto P y dibuje una línea a través de O que intersecte con este punto P.

•El ángulo entre el eje x y la recta es . •Y la coordenada radial ‘r’ es igual a P = r. U

•Por tanto (r, t) o (r, ), es el par de coordenadas polares para el punto P.

Pueden existir numerosas coordenadas polares para un solo punto en el plano.

A modo de ilustración, en el ejemplo anterior (r, t + 2.c. ) y (-r, t + (2.c + 1). ) también forman un par de coordenadas polares para el punto P. Aquí c es un valor entero.

Saludos y suerte prof lauro soto


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