Coordenadas Cilindricas Y Esfericas

Coordenadas Cilindricas Y Esfericas

Coordenadas cilíndricas

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El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P {\displaystyle P} P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, z {\displaystyle z} z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z , o bien la longitud de la proyección del radiovector

sobre el plano X Y

φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano X Y

z Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano X Y {\displaystyle XY} XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

    0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ < 2 π − ∞ < z < ∞ 

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva.

Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

    x = ρ cos ⁡ φ , y = ρ sin ⁡ φ , z = z 

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z {\displaystyle Z} Z.

Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.

Líneas coordenadas z Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

    Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
    Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
    Superficies z {\displaystyle z} z=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal. Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

ρ ^ = cos ⁡ φ x ^ + s e n φ y ^

φ ^ = − s e n φ x ^ + cos φ y ^

z ^ = z ^

e inversamente

x ^ = cos ⁡ φ ρ ^ − s e n φ φ ^

y ^ = s e n φ ρ ^ + cos φ φ ^

z ^ = z ^

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

h ρ = 1 h φ = ρ h z = 1

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

    r → = ρ ρ ^ + z z ^ 

Nótese que no aparece un término φ φ ^ . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

r → = x i → + y j → + z k → = ρ cos ⁡ φ i → + ρ sin ⁡ φ j → + z k → = ρ ( cos ⁡ φ i → + sin ⁡ φ j → ) + z k → = ρ ρ ^ + z z ^ j

Diferenciales de línea, superficie y volumen Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

d r → = h ρ d ρ ρ ^ + h φ d φ φ ^ + h z d z z ^ = d ρ ρ ^ + ρ d φ φ ^ + d z z ^

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q 3 = c t e . el resultado es

d S → q 3 = c t e = h 1 h 2 d q 1 d q 2 q ^ 3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte: d S → ρ = c t e = ρ d φ d z ρ ^

φ=cte: d S → φ = c t e = d ρ d z φ ^

z=cte: d S → z = c t e = ρ d ρ d φ z ^

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales.

El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

d V = h 1 h 2 h 3 d q 1 d q 2 d q 3

que para coordenadas cilíndricas da

d V = ρ d ρ d φ d z

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