Condiciones Suficientes De Existencia Para La Transformada De Laplace

Condiciones Suficientes De Existencia Para La Transformada De Laplace

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:

1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozoso seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.

Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.

Claramente, f(t) es continua en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límitesderechoe izquierdo de A son,

 f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

 f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

Aquí el valor de t es siempre positivo.

2. Funciones de orden exponencial: Se dice que una función es de orden exponencial si existe un número real positivo M y , y un número T tal que,

Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que

Aquí l = 0 o a un número positivo finito.

Sea f(t) es una función continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces,la transformada de Laplace de f(t) existe para cada valor de s, el cual es mayor que .

El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t. Además, como f(t) es de orden exponencial , tenemos que,

Ahora,

| L{f(t)} | = | e-st f(t) dt |

  e-st | f(t) | dt

   M   e-stdt

 = M   dt

 = M/ (s -  )

Aquí, la condición de que s fuera mayor que era necesaria para la existencia de la última integral. Por lo tanto, el teorema queda demostrado.

Sin embargo las condiciones mencionadas en el teorema son suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. Esto se puede entender desde el siguiente ejemplo.

Seaf(t) = 1/ entonces f(t)  como t  0. Por lo tanto f(t) no es continua a trozos en cada intervalo finitodel rango t 0, pero todavía sigue siendo su transformada de Laplace dado que,

L{1/ } = e-stt-1/2dt

 = Sustituye x en el lugar dest., esto producirádt = dx/ s

= 1/ { e-x x-1/2 dx }

 = 1/  {   e-x x(1/2) – 1 dx }

= 1/ {1/ 2}

 = Por la definición de la función gamma, sabemos que ,  e-u un-1  du =   (n)

=

 = Dado que  (1/ 2) =  

Por lo tanto, las condiciones establecidas en el teorema anterior no son necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. Como sabemos, cualquier signo que pueda ser realizado físicamente, y que sea continuo de naturaleza no puedenuarse tan rápidamente, esto es, que no es posible enlazarlo mediante una función exponencial, por lo tanto, la transformada de Laplace existe para todas los signos que se pueden realizar físicamente.

Saludos y suerte prof lauro soto


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