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Campos Vectoriales

En matem谩tica un campo vectorial es una construcci贸n del c谩lculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucl铆deo, de la forma

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la f铆sica para, por ejemplo, modelar la velocidad y la direcci贸n de un l铆quido m贸vil a trav茅s del espacio, o la intensidad y la direcci贸n de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagn茅tica o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matem谩tico riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teor铆a general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio eucl铆deo es una funci贸n a valores vectoriales:

Decimos que es un campo vectorial Ck si como funci贸n es k veces diferenciable con continuidad en X.

Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Operaciones con campos vectoriales

Dados dos campos vectoriales Ck F, G definidos sobre X y una funci贸n Ck a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adici贸n:

Debido a la linealidad de la funci贸n (F+G):

Define el m贸dulo de los campos vectoriales Ck sobre el anillo de las funciones Ck. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en s铆 mismo un espacio vectorial.

Derivaci贸n y potenciales escalares y vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un n煤mero o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Rec铆procamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades se explican se derivan del teorema de Poincar茅.

Puntos estacionarios Un punto x en X se llama estacionario si:

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la secci贸n anterior.

fuente:Campo vectorial. (2011, 15) de enero. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 03:58, marzo 25, 2011 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_vectorial&oldid=43257187


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