Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales Lineales

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales Lineales

Aplicaciones de los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se discuten a continuación.

1. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte. Esteresorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse como,

Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Unejemplo de estoes,

En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son:

• La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1.

• La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. Esta fuerza es igual a k2(x2 – x1).

Esto nos da la ecuación del movimiento,

De manera similar, la ecuación del movimiento para el segundo cuerpo es,

Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y pueden resolverse mediante el uso de las técnicas de solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

2. Problemas eléctricos: Muchos de los circuitos eléctricos pueden ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales. Sea un circuito eléctrico dado como,

Ahora, mediante la aplicación de Kirchhoff se tiene la ecuación del flujo de corriente en un nodo como,

Esta ecuación puede ser reducida como,

De manera similar, la ecuación del flujo de corriente del nodo dos se da como,

Atach:ed114.jpg

Esta ecuación puede ser reducida como,

Ahora, aplicando la ley de Kirchoff a la parte izquierda del circuito dado. Por lo tanto tenemos,

Del mismo modo, mediante la aplicación de la ley de Kirchoff a la parte derecha del circuito dado obtenemos,

Ahora, diferencia lasdos últimas ecuaciones para obtener el sistema de ecuaciones como,

Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para las variables i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con la ayuda de estas dos variables. Un punto importante a mencionar es que pueden existir más que ecuaciones para el ejemplo anterior. Por ejemplo, una de las ecuaciones puede ser,

Saludos y suerte prof lauro soto


Mis sitios nuevos:
Emprendedores
Politica de Privacidad